Номер 513, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Координаты и графики - номер 513, страница 156.

513 Изобразите на координатной прямой множество точек, заданное неравенством:

а) $|x - 20| < 5$;

б) $|x - 6| > 1$;

в) $|x + 1,5| < 5$;

г) $|x + 0,5| > 2,5$.

а)

Неравенство с модулем вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.В данном случае имеем неравенство $|x - 20| < 5$. Геометрически это означает, что расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки 20 меньше 5.

Перейдем к равносильному двойному неравенству:

$-5 < x - 20 < 5$

Чтобы найти $x$, прибавим 20 ко всем трем частям неравенства:

$-5 + 20 < x - 20 + 20 < 5 + 20$

$15 < x < 25$

Решением является интервал $(15; 25)$. На координатной прямой это множество точек, расположенных между числами 15 и 25. Точки 15 и 25 не включаются в решение, поэтому на прямой они отмечаются выколотыми (пустыми) кружками.

Ответ: $x \in (15; 25)$.

б)

Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.В данном случае имеем неравенство $|x - 6| > 1$. Геометрически это означает, что расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки 6 больше 1.

Перейдем к равносильной совокупности:

$x - 6 > 1$ или $x - 6 < -1$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 6 > 1 \implies x > 1 + 6 \implies x > 7$

2) $x - 6 < -1 \implies x < -1 + 6 \implies x < 5$

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$. На координатной прямой это все точки левее 5 и все точки правее 7. Точки 5 и 7 отмечаются выколотыми кружками.

Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$.

в)

Неравенство $|x + 1,5| < 5$ относится к виду $|f(x)| < a$. Его можно представить в виде $|x - (-1,5)| < 5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -1,5 меньше 5.

Перейдем к равносильному двойному неравенству:

$-5 < x + 1,5 < 5$

Вычтем 1,5 из всех трех частей неравенства:

$-5 - 1,5 < x + 1,5 - 1,5 < 5 - 1,5$

$-6,5 < x < 3,5$

Решением является интервал $(-6,5; 3,5)$. На координатной прямой это множество точек между -6,5 и 3,5. Граничные точки -6,5 и 3,5 являются выколотыми.

Ответ: $x \in (-6,5; 3,5)$.

г)

Неравенство $|x + 0,5| > 2,5$ относится к виду $|f(x)| > a$. Его можно представить в виде $|x - (-0,5)| > 2,5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -0,5 больше 2,5.

Перейдем к равносильной совокупности:

$x + 0,5 > 2,5$ или $x + 0,5 < -2,5$

Решим каждое неравенство:

1) $x + 0,5 > 2,5 \implies x > 2,5 - 0,5 \implies x > 2$

2) $x + 0,5 < -2,5 \implies x < -2,5 - 0,5 \implies x < -3$

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. На координатной прямой это все точки левее -3 и все точки правее 2. Точки -3 и 2 являются выколотыми.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.