Номер 519, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Координаты и графики - номер 519, страница 157.

519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости, изображённые на рисунке 5.50, а, б.

а) $ \{ (x, y) \mid -2 \le x \le 2 \text{ и } (y \ge 3 \text{ или } y \le -3) \} $

или

$ \{ (x, y) \mid |x| \le 2 \text{ и } |y| \ge 3 \} $

б) $ \{ (x, y) \mid (x \le -2 \text{ или } x \ge 2) \text{ и } (y \ge 3 \text{ или } y \le -3) \} $

или

$ \{ (x, y) \mid |x| \ge 2 \text{ и } |y| \ge 3 \} $

Рис. 5.50

а)

Заштрихованная на рисунке область представляет собой множество точек $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют определенным условиям.
Проанализируем ограничения по оси абсцисс (x). Видно, что заштрихованные области расположены между вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 2$. Это означает, что для абсциссы x любой точки из этой области выполняется двойное неравенство $-2 \le x \le 2$. Используя свойство модуля, это можно записать как $|x| \le 2$.
Теперь проанализируем ограничения по оси ординат (y). Область состоит из двух частей: одна часть находится выше горизонтальной прямой $y = 3$, а другая — ниже прямой $y = -3$. Таким образом, для ординаты y любой точки из этой области выполняется либо $y \ge 3$, либо $y \le -3$. Это совокупность неравенств, которую можно записать с помощью модуля как $|y| \ge 3$.
Поскольку точка должна удовлетворять обоим условиям одновременно (и по x, и по y), искомое множество описывается системой неравенств.
Ответ: $\begin{cases} |x| \le 2, \\ |y| \ge 3. \end{cases}$

б)

Заштрихованная на рисунке область состоит из четырех частей, симметрично расположенных относительно осей координат.
Рассмотрим ограничения по оси абсцисс (x). Заштрихованные области находятся левее прямой $x = -2$ или правее прямой $x = 2$. Это означает, что для абсциссы x выполняется совокупность неравенств $x \le -2$ или $x \ge 2$. В виде одного неравенства с модулем это записывается как $|x| \ge 2$.
Рассмотрим ограничения по оси ординат (y). Заштрихованные области находятся выше прямой $y = 3$ или ниже прямой $y = -3$. Это означает, что для ординаты y выполняется совокупность неравенств $y \ge 3$ или $y \le -3$. С помощью модуля это записывается как $|y| \ge 3$.
Точка принадлежит заштрихованной области, если ее координаты $(x; y)$ удовлетворяют и условию по x, и условию по y одновременно. Следовательно, искомое множество точек описывается системой неравенств.
Ответ: $\begin{cases} |x| \ge 2, \\ |y| \ge 3. \end{cases}$