Номер 1, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 5. Координаты и графики - номер 1, страница 160.

1 Назовите известные вам числовые промежутки и приведите соответствующие примеры.

Числовой промежуток — это подмножество множества всех действительных чисел, которое содержит все числа, расположенные между двумя его концами, а также, возможно, и сами концы. Существуют различные виды числовых промежутков.

Открытый интервал (или просто интервал)

Это множество чисел, строго заключенных между двумя числами $a$ и $b$. Сами числа $a$ и $b$ (границы интервала) в множество не включаются. Для обозначения используются круглые скобки.

Запись в виде неравенства: $a < x < b$

Запись в виде промежутка: $(a; b)$

Пример: Промежуток $(2; 8)$ включает все числа, которые больше 2, но меньше 8. Например, числа $2.5$, $4$, $7.99$ входят в этот промежуток, а сами числа $2$ и $8$ — нет.

Ответ: Открытый интервал $(a; b)$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $a < x < b$. Пример: $(-1; 5)$.

Замкнутый интервал (или отрезок)

Это множество чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$, включая сами числа $a$ и $b$. Для обозначения используются квадратные скобки.

Запись в виде неравенства: $a \le x \le b$

Запись в виде промежутка: $[a; b]$

Пример: Промежуток $[-3; 4]$ включает все числа от -3 до 4, включая сами числа $-3$ и $4$.

Ответ: Отрезок $[a; b]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $a \le x \le b$. Пример: $[0; 7]$.

Полуинтервал (или полуотрезок)

Это множество чисел, заключенных между $a$ и $b$, где одна из границ промежутка включается в множество, а другая — нет. Используется комбинация круглой и квадратной скобок.

Существует два вида полуинтервалов:

1. Промежуток, замкнутый слева и открытый справа. Граница $a$ включается, а граница $b$ — нет.

Запись в виде неравенства: $a \le x < b$

Запись в виде промежутка: $[a; b)$

Пример: Промежуток $[-1; 6)$ включает все числа, которые больше или равны -1 и строго меньше 6. Число $-1$ входит, а $6$ — нет.

2. Промежуток, открытый слева и замкнутый справа. Граница $a$ не включается, а граница $b$ — включается.

Запись в виде неравенства: $a < x \le b$

Запись в виде промежутка: $(a; b]$

Пример: Промежуток $(0; 9]$ включает все числа, которые строго больше 0 и меньше или равны 9. Число $0$ не входит, а $9$ входит.

Ответ: Полуинтервал — это промежуток, где одна граница включается, а другая нет. Примеры: $[-4; 0)$ или $(3; 11]$.

Числовые лучи (бесконечные промежутки)

Это множества чисел, которые ограничены только с одной стороны и уходят в бесконечность ($+\infty$ или $-\infty$).

Открытый числовой луч: Граничная точка не включается в промежуток.

Запись в виде неравенства: $x > a$ или $x < a$

Запись в виде промежутка: $(a; +\infty)$ или $(-\infty; a)$

Примеры: $(4; +\infty)$ — все числа, строго большие 4. $(-\infty; 1)$ — все числа, строго меньшие 1.

Замкнутый числовой луч (или просто луч): Граничная точка включается в промежуток.

Запись в виде неравенства: $x \ge a$ или $x \le a$

Запись в виде промежутка: $[a; +\infty)$ или $(-\infty; a]$

Примеры: $[2; +\infty)$ — все числа, большие или равные 2. $(-\infty; -5]$ — все числа, меньшие или равные -5.

Ответ: Числовой луч — это бесконечный промежуток, ограниченный с одной стороны. Примеры: $(-\infty; 3)$ (открытый луч) и $[12; +\infty)$ (замкнутый луч).

Числовая прямая

Это множество всех действительных чисел, которое не имеет границ.

Запись в виде промежутка: $(-\infty; +\infty)$

Этот промежуток соответствует всему множеству действительных чисел, обозначаемому как $\mathbb{R}$.

Пример: Множество всех чисел, как целых, так и дробных, рациональных и иррациональных.

Ответ: Числовая прямая $(-\infty; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.