Номер 4, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 5. Координаты и графики - номер 4, страница 160.

4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных углов?

Координатная плоскость делится осями абсцисс ($Ox$) и ординат ($Oy$) на четыре координатных угла (квадранта). Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Сторонами I и III координатных углов являются сами координатные оси $Ox$ (задается уравнением $y=0$) и $Oy$ (задается уравнением $x=0$). Возьмем произвольную точку $M(x, y)$, лежащую на биссектрисе этих углов. Расстояние от точки $M$ до оси $Ox$ равно модулю ее ординаты, то есть $|y|$. Расстояние от точки $M$ до оси $Oy$ равно модулю ее абсциссы, то есть $|x|$.

По определению биссектрисы, эти расстояния должны быть равны:
$|y| = |x|$

Это равенство с модулями эквивалентно совокупности двух уравнений: $y = x$ и $y = -x$. Эти два уравнения задают две взаимно перпендикулярные прямые, которые являются биссектрисами всех четырех координатных углов.

Чтобы определить, какое из равенств задаёт биссектрису именно I и III координатных углов, необходимо проанализировать знаки координат в этих квадрантах. В I координатном углу обе координаты положительны ($x>0, y>0$), а в III координатном углу — обе отрицательны ($x<0, y<0$). В обоих случаях координаты имеют одинаковый знак, что соответствует равенству $y = x$.

Равенство же $y = -x$ описывает биссектрису II и IV координатных углов, где координаты имеют противоположные знаки.

Следовательно, равенством, задающим биссектрису I и III координатных углов, является $y = x$.

Ответ: $y = x$