Номер 6, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 5. Координаты и графики - номер 6, страница 160.

6 Как называется график зависимости $y=x^2$? Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Постройте этот график и опишите его свойства.

Как называется график зависимости $y=x^2$?

График квадратичной функции вида $y=ax^2+bx+c$ называется параболой. В частном случае, для функции $y=x^2$, график также является параболой.

Ответ: Парабола.

Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику.

Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику функции $y=x^2$, необходимо выбрать несколько значений для аргумента $x$ и вычислить для них соответствующие значения функции $y$. Составим таблицу значений:

• При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$. Это вершина параболы.
• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Координаты точки: $(-1, 1)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты точки: $(2, 4)$.
• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты точки: $(-2, 4)$.
• При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты точки: $(3, 9)$.
• При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Координаты точки: $(-3, 9)$.

Ответ: Несколько точек, принадлежащих графику: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$, $(3, 9)$, $(-3, 9)$.

Постройте этот график

Для построения графика нанесём найденные точки на координатную плоскость Oxy и соединим их плавной линией. В результате получится парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции $y=x^2$ является параболой с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх (см. изображение выше).

Опишите его свойства

Основные свойства функции $y=x^2$ и её графика:

• Область определения: все действительные числа. В виде промежутка это записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные действительные числа. Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), то $y \ge 0$. В виде промежутка это записывается как $E(y) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: значение функции равно нулю ($y=0$) только в одной точке, при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Ось симметрии параболы — прямая $x=0$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума), $y_{min}=0$. Эта точка $(0,0)$ называется вершиной параболы. Наибольшего значения у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Выпуклость: график функции является выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения - все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$; область значений - все неотрицательные числа, $[0; +\infty)$; нуль функции - $x=0$; функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy; функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$; имеет минимум в точке $(0,0)$, равный 0; ветви параболы направлены вверх.