Номер 4, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Чему вы научились. Глава 5. Координаты и графики - номер 4, страница 160.

4 Постройте график зависимости:

а) $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 1 \\ 1 & \text{при } x < 1 \end{cases}$;

б) $y = \begin{cases} x^3 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0 \end{cases}$.

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график для каждого из двух промежутков, на которые разбита числовая ось.

1. На промежутке $x \ge 1$ функция задается формулой $y=x$. Графиком этой зависимости является прямая линия. Так как мы рассматриваем только значения $x$, которые больше или равны 1, то графиком будет луч, выходящий из точки с абсциссой $x=1$. Найдем ординату этой точки: при $x=1$, $y=1$. Таким образом, луч начинается в точке $(1, 1)$. Эта точка принадлежит графику, так как неравенство $x \ge 1$ нестрогое. Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=3$, $y=3$. Проводим луч через точки $(1, 1)$ и $(3, 3)$.

2. На промежутке $x < 1$ функция задается формулой $y=1$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 1)$ параллельно оси абсцисс. Так как мы рассматриваем только значения $x < 1$, то от всей прямой мы берем только луч, расположенный левее прямой $x=1$. Конечная точка этого луча — $(1, 1)$, но она не включается в эту часть графика (является «выколотой»), так как неравенство $x < 1$ строгое.

3. Совместим полученные части на одной координатной плоскости. Луч $y=x$ начинается в точке $(1, 1)$, а горизонтальный луч $y=1$ подходит к этой же точке слева. Таким образом, «выколотая» точка одной части графика «закрашивается» начальной точкой другой части. В результате получается непрерывная ломаная линия.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(1, 1)$. Для $x < 1$ это горизонтальный луч $y=1$, идущий влево. Для $x \ge 1$ это луч $y=x$, идущий вправо и вверх под углом 45° к оси абсцисс.

б)

Эта функция также является кусочно-заданной. Построим ее график по частям.

1. На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y=x^3$. Графиком является кубическая парабола. Нас интересует ее правая ветвь, расположенная в первой координатной четверти. Построим ее по точкам:

• при $x=0$, $y=0^3=0$. Точка $(0, 0)$ является начальной и принадлежит графику.
• при $x=1$, $y=1^3=1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• при $x=2$, $y=2^3=8$. Точка $(2, 8)$ принадлежит графику.

Соединив точки, получаем плавно возрастающую кривую, выходящую из начала координат.

2. На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y=-x$. Графиком является прямая линия, а именно биссектриса второго координатного угла. Так как мы рассматриваем только $x < 0$, то от прямой берем луч, расположенный во второй координатной четверти. Найдем точки для построения:

• при $x=-1$, $y=-(-1)=1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
• при $x=-2$, $y=-(-2)=2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит графику.

Этот луч подходит к началу координат, точке $(0, 0)$, но сама точка не включается в эту часть графика, так как неравенство $x < 0$ строгое.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Ветвь кубической параболы $y=x^3$ начинается в точке $(0, 0)$, а луч $y=-x$ подходит к этой же точке слева. В точке $(0, 0)$ графики обеих частей смыкаются, образуя непрерывную линию.

Ответ: График функции состоит из двух частей, которые соединяются в точке $(0, 0)$. При $x < 0$ это луч $y=-x$, расположенный во второй координатной четверти. При $x \ge 0$ это ветвь кубической параболы $y=x^3$, расположенная в первой координатной четверти.