Страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Назовите известные вам числовые промежутки и приведите соответствующие примеры.

Числовой промежуток — это подмножество множества всех действительных чисел, которое содержит все числа, расположенные между двумя его концами, а также, возможно, и сами концы. Существуют различные виды числовых промежутков.

Открытый интервал (или просто интервал)

Это множество чисел, строго заключенных между двумя числами $a$ и $b$. Сами числа $a$ и $b$ (границы интервала) в множество не включаются. Для обозначения используются круглые скобки.

Запись в виде неравенства: $a < x < b$

Запись в виде промежутка: $(a; b)$

Пример: Промежуток $(2; 8)$ включает все числа, которые больше 2, но меньше 8. Например, числа $2.5$, $4$, $7.99$ входят в этот промежуток, а сами числа $2$ и $8$ — нет.

Ответ: Открытый интервал $(a; b)$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $a < x < b$. Пример: $(-1; 5)$.

Замкнутый интервал (или отрезок)

Это множество чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$, включая сами числа $a$ и $b$. Для обозначения используются квадратные скобки.

Запись в виде неравенства: $a \le x \le b$

Запись в виде промежутка: $[a; b]$

Пример: Промежуток $[-3; 4]$ включает все числа от -3 до 4, включая сами числа $-3$ и $4$.

Ответ: Отрезок $[a; b]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $a \le x \le b$. Пример: $[0; 7]$.

Полуинтервал (или полуотрезок)

Это множество чисел, заключенных между $a$ и $b$, где одна из границ промежутка включается в множество, а другая — нет. Используется комбинация круглой и квадратной скобок.

Существует два вида полуинтервалов:

1. Промежуток, замкнутый слева и открытый справа. Граница $a$ включается, а граница $b$ — нет.

Запись в виде неравенства: $a \le x < b$

Запись в виде промежутка: $[a; b)$

Пример: Промежуток $[-1; 6)$ включает все числа, которые больше или равны -1 и строго меньше 6. Число $-1$ входит, а $6$ — нет.

2. Промежуток, открытый слева и замкнутый справа. Граница $a$ не включается, а граница $b$ — включается.

Запись в виде неравенства: $a < x \le b$

Запись в виде промежутка: $(a; b]$

Пример: Промежуток $(0; 9]$ включает все числа, которые строго больше 0 и меньше или равны 9. Число $0$ не входит, а $9$ входит.

Ответ: Полуинтервал — это промежуток, где одна граница включается, а другая нет. Примеры: $[-4; 0)$ или $(3; 11]$.

Числовые лучи (бесконечные промежутки)

Это множества чисел, которые ограничены только с одной стороны и уходят в бесконечность ($+\infty$ или $-\infty$).

Открытый числовой луч: Граничная точка не включается в промежуток.

Запись в виде неравенства: $x > a$ или $x < a$

Запись в виде промежутка: $(a; +\infty)$ или $(-\infty; a)$

Примеры: $(4; +\infty)$ — все числа, строго большие 4. $(-\infty; 1)$ — все числа, строго меньшие 1.

Замкнутый числовой луч (или просто луч): Граничная точка включается в промежуток.

Запись в виде неравенства: $x \ge a$ или $x \le a$

Запись в виде промежутка: $[a; +\infty)$ или $(-\infty; a]$

Примеры: $[2; +\infty)$ — все числа, большие или равные 2. $(-\infty; -5]$ — все числа, меньшие или равные -5.

Ответ: Числовой луч — это бесконечный промежуток, ограниченный с одной стороны. Примеры: $(-\infty; 3)$ (открытый луч) и $[12; +\infty)$ (замкнутый луч).

Числовая прямая

Это множество всех действительных чисел, которое не имеет границ.

Запись в виде промежутка: $(-\infty; +\infty)$

Этот промежуток соответствует всему множеству действительных чисел, обозначаемому как $\mathbb{R}$.

Пример: Множество всех чисел, как целых, так и дробных, рациональных и иррациональных.

Ответ: Числовая прямая $(-\infty; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

2 На координатной прямой даны точки A($14$), B($-6$), C($a$). На каком расстоянии от точки 0 находится каждая из этих точек?

Расстояние от точки на координатной прямой до начала координат (точки 0) равно модулю (абсолютной величине) координаты этой точки. Общая формула для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на прямой: $d = |x_2 - x_1|$. В нашем случае одна из координат всегда равна 0.

Точка A(14)

Чтобы найти расстояние от точки A с координатой 14 до точки 0, необходимо вычислить модуль ее координаты. Расстояние, обозначим его как $d_A$, равно: $d_A = |14 - 0| = |14|$. Модуль положительного числа равен самому этому числу, следовательно, расстояние равно 14.

Ответ: 14.

Точка B(-6)

Чтобы найти расстояние от точки B с координатой -6 до точки 0, необходимо вычислить модуль ее координаты. Расстояние, обозначим его как $d_B$, равно: $d_B = |-6 - 0| = |-6|$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, следовательно, расстояние равно 6.

Ответ: 6.

Точка C(a)

Чтобы найти расстояние от точки C с координатой $a$ до точки 0, необходимо вычислить модуль ее координаты. Расстояние, обозначим его как $d_C$, равно: $d_C = |a - 0| = |a|$. Поскольку значение переменной $a$ неизвестно, ответ можно представить только в общем виде через модуль. Значение $|a|$ зависит от знака $a$:

• Если $a \ge 0$ (a — неотрицательное число), то расстояние равно $a$.
• Если $a < 0$ (a — отрицательное число), то расстояние равно $-a$.

Таким образом, в общем виде расстояние от точки C(a) до точки 0 составляет $|a|$.

Ответ: $|a|$.

3 Запишите формулу расстояния между точками координатной прямой. По этой формуле найдите расстояние между точками $A(-10,4)$ и $B(2,3)$.

Запишите формулу расстояния между точками координатной прямой.

Хотя в вопросе упоминается координатная прямая, заданные точки $A(-10, 4)$ и $B(2, 3)$ имеют по две координаты, что означает, что они расположены на координатной плоскости. Формула расстояния $d$ между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости выводится из теоремы Пифагора и имеет следующий вид:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ответ: Формула расстояния между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на координатной плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

По этой формуле найдите расстояние между точками A(-10,4) и B(2,3).

Чтобы найти расстояние между точками $A(-10, 4)$ и $B(2, 3)$, подставим их координаты в выведенную выше формулу. В данном случае:

$x_1 = -10$, $y_1 = 4$

$x_2 = 2$, $y_2 = 3$

Подстановка значений в формулу дает:

$|AB| = \sqrt{(2 - (-10))^2 + (3 - 4)^2}$

Проведем вычисления по шагам:

$|AB| = \sqrt{(2 + 10)^2 + (-1)^2}$

$|AB| = \sqrt{12^2 + (-1)^2}$

$|AB| = \sqrt{144 + 1}$

$|AB| = \sqrt{145}$

Так как число 145 раскладывается на простые множители как $5 \cdot 29$, дальнейшее упрощение квадратного корня невозможно.

Ответ: $\sqrt{145}$.

4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных углов?

Координатная плоскость делится осями абсцисс ($Ox$) и ординат ($Oy$) на четыре координатных угла (квадранта). Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Сторонами I и III координатных углов являются сами координатные оси $Ox$ (задается уравнением $y=0$) и $Oy$ (задается уравнением $x=0$). Возьмем произвольную точку $M(x, y)$, лежащую на биссектрисе этих углов. Расстояние от точки $M$ до оси $Ox$ равно модулю ее ординаты, то есть $|y|$. Расстояние от точки $M$ до оси $Oy$ равно модулю ее абсциссы, то есть $|x|$.

По определению биссектрисы, эти расстояния должны быть равны:
$|y| = |x|$

Это равенство с модулями эквивалентно совокупности двух уравнений: $y = x$ и $y = -x$. Эти два уравнения задают две взаимно перпендикулярные прямые, которые являются биссектрисами всех четырех координатных углов.

Чтобы определить, какое из равенств задаёт биссектрису именно I и III координатных углов, необходимо проанализировать знаки координат в этих квадрантах. В I координатном углу обе координаты положительны ($x>0, y>0$), а в III координатном углу — обе отрицательны ($x<0, y<0$). В обоих случаях координаты имеют одинаковый знак, что соответствует равенству $y = x$.

Равенство же $y = -x$ описывает биссектрису II и IV координатных углов, где координаты имеют противоположные знаки.

Следовательно, равенством, задающим биссектрису I и III координатных углов, является $y = x$.

Ответ: $y = x$

5 Каким равенством задаётся биссектриса II и IV координатных углов?

Координатная плоскость делится осями абсцисс ($Ox$) и ординат ($Oy$) на четыре координатных угла (четверти или квадранта). Биссектриса угла — это луч (в данном случае — прямая), который делит угол пополам.

Биссектриса II и IV координатных углов — это прямая, проходящая через начало координат и эти две четверти. Каждая точка на этой биссектрисе равноудалена от осей $Ox$ и $Oy$.

Расстояние от любой точки $M(x; y)$ до оси абсцисс ($Ox$) равно $|y|$, а расстояние до оси ординат ($Oy$) равно $|x|$. Так как точка лежит на биссектрисе, эти расстояния равны: $|y| = |x|$

Рассмотрим, как это равенство раскрывается для точек, лежащих во II и IV координатных четвертях:

• Во II четверти координаты точки имеют знаки: $x < 0$, $y > 0$. В этом случае модуль раскрывается так: $|x| = -x$ и $|y| = y$. Подставляя в наше равенство, получаем: $y = -x$.
• В IV четверти координаты точки имеют знаки: $x > 0$, $y < 0$. В этом случае модуль раскрывается так: $|x| = x$ и $|y| = -y$. Подставляя в равенство, получаем: $-y = x$, что равносильно $y = -x$.

Таким образом, для всех точек, лежащих на биссектрисе II и IV координатных углов, выполняется одно и то же равенство. Это уравнение прямой, которая является графиком линейной функции $y = -x$. Его также можно записать в общем виде: $x + y = 0$.

Ответ: $y = -x$ или $x+y=0$.

6 Как называется график зависимости $y=x^2$? Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Постройте этот график и опишите его свойства.

Как называется график зависимости $y=x^2$?

График квадратичной функции вида $y=ax^2+bx+c$ называется параболой. В частном случае, для функции $y=x^2$, график также является параболой.

Ответ: Парабола.

Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику.

Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику функции $y=x^2$, необходимо выбрать несколько значений для аргумента $x$ и вычислить для них соответствующие значения функции $y$. Составим таблицу значений:

• При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$. Это вершина параболы.
• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Координаты точки: $(-1, 1)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты точки: $(2, 4)$.
• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты точки: $(-2, 4)$.
• При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты точки: $(3, 9)$.
• При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Координаты точки: $(-3, 9)$.

Ответ: Несколько точек, принадлежащих графику: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$, $(3, 9)$, $(-3, 9)$.

Постройте этот график

Для построения графика нанесём найденные точки на координатную плоскость Oxy и соединим их плавной линией. В результате получится парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции $y=x^2$ является параболой с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх (см. изображение выше).

Опишите его свойства

Основные свойства функции $y=x^2$ и её графика:

• Область определения: все действительные числа. В виде промежутка это записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные действительные числа. Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), то $y \ge 0$. В виде промежутка это записывается как $E(y) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: значение функции равно нулю ($y=0$) только в одной точке, при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Ось симметрии параболы — прямая $x=0$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума), $y_{min}=0$. Эта точка $(0,0)$ называется вершиной параболы. Наибольшего значения у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Выпуклость: график функции является выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения - все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$; область значений - все неотрицательные числа, $[0; +\infty)$; нуль функции - $x=0$; функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy; функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$; имеет минимум в точке $(0,0)$, равный 0; ветви параболы направлены вверх.

7 Изобразите на координатной плоскости график зависимости $y = x^3$.

Для построения графика зависимости $y = x^3$ (кубическая парабола) необходимо провести анализ функции, найти координаты нескольких точек и затем нанести их на координатную плоскость, соединив плавной кривой.

1. Анализ свойств функции

• Область определения и область значений: Функция определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку любое действительное число можно представить как куб другого действительного числа, область значений также $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Четность/нечетность: Проверим функцию на симметрию. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$).

• Точки пересечения с осями: При $x=0$, $y=0^3=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$. Это единственная точка пересечения как с осью Ox, так и с осью Oy.

2. Составление таблицы значений

Вычислим значения $y$ для нескольких значений $x$, чтобы получить контрольные точки для построения графика. Учитывая симметрию, достаточно рассчитать значения для положительных $x$ и затем отразить их симметрично относительно начала координат.

3. Построение графика

Отметим вычисленные точки на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. В первой координатной четверти ($x>0$) график возрастает от 0 до $+\infty$. В третьей четверти ($x<0$) график, благодаря симметрии, также возрастает от $-\infty$ до 0. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, в которой график меняет направление выпуклости, а касательная к нему совпадает с осью Ox.

Ответ:

График зависимости $y=x^3$ на координатной плоскости выглядит следующим образом:

8 Изобразите на координатной плоскости график зависимости $y=|x|$.

Для построения графика функции $y = |x|$ необходимо сначала раскрыть определение модуля.

По определению абсолютной величины (модуля) числа:

$y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что график функции $y = |x|$ состоит из двух частей (двух лучей), которые нужно построить на одной координатной плоскости:

1. График функции $y = x$ на промежутке, где $x \ge 0$.
2. График функции $y = -x$ на промежутке, где $x < 0$.

Построение графика $y = x$ при $x \ge 0$

Функция $y = x$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Возьмём значения $x$, удовлетворяющие условию $x \ge 0$.
• При $x=0$, $y=0$. Координаты точки $(0, 0)$.
• При $x=3$, $y=3$. Координаты точки $(3, 3)$.
Соединяем эти точки и получаем луч, выходящий из начала координат и проходящий через первый координатный квадрант (биссектриса первого координатного угла).

Построение графика $y = -x$ при $x < 0$

Функция $y = -x$ также является линейной, её график — прямая линия. Возьмём значения $x$, удовлетворяющие условию $x < 0$.
• При $x=-1$, $y=-(-1)=1$. Координаты точки $(-1, 1)$.
• При $x=-3$, $y=-(-3)=3$. Координаты точки $(-3, 3)$.
Соединяем эти точки и получаем луч, выходящий из начала координат и проходящий через второй координатный квадрант (биссектриса второго координатного угла).

Итоговый график

Объединяя два построенных луча на одной координатной плоскости, мы получаем искомый график функции $y = |x|$. График имеет V-образную форму, симметричен относительно оси ординат (оси OY), а его вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Ответ:

График зависимости $y=|x|$ на координатной плоскости:

1 Изобразите на координатной прямой промежуток:

а) $x > 3$;

б) $x \le -1$;

в) $-5 \le x \le 2$;

г) $0,5 < x < 1,5$.

а) $x > 3$

Это строгое неравенство, которое означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые строго больше 3. Само число 3 в этот промежуток не входит. На координатной прямой это соответствует открытому лучу, который начинается в точке 3 и направлен вправо, в сторону положительной бесконечности. Точка 3, как граница, не включается в промежуток, поэтому её отмечают "выколотой" (пустой) точкой.

Ответ: $(3; +\infty)$

б) $x \le -1$

Это нестрогое неравенство. Оно означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые меньше или равны -1. Число -1 в этот промежуток входит. На координатной прямой это соответствует лучу, который начинается в точке -1 и направлен влево, в сторону отрицательной бесконечности. Точка -1, как граница, включается в промежуток, поэтому её отмечают закрашенной (сплошной) точкой.

Ответ: $(-\infty; -1]$

в) $-5 \le x \le 2$

Это двойное нестрогое неравенство, которое задает числовой отрезок. Переменная $x$ принимает все значения в диапазоне от -5 до 2 включительно. На координатной прямой это отрезок, концами которого являются точки -5 и 2. Так как неравенство нестрогое с обеих сторон, обе граничные точки, -5 и 2, включаются в промежуток и отмечаются закрашенными точками.

Ответ: $[-5; 2]$

г) $0,5 < x < 1,5$

Это двойное строгое неравенство, которое задает интервал. Переменная $x$ принимает все значения, находящиеся строго между 0,5 и 1,5. На координатной прямой это интервал с концами в точках 0,5 и 1,5. Так как неравенство строгое с обеих сторон, обе граничные точки, 0,5 и 1,5, не включаются в промежуток и отмечаются "выколотыми" точками.

Ответ: $(0,5; 1,5)$

2 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

a) $x=-2$;

б) $y=4$;

в) $x \le 1$;

г) $y \ge 0$;

д) $1,5 \le y \le 3,5$;

е) $-2 \le x \le 1$ и $2 \le y \le 4$.

а) $x = -2$

Условие $x = -2$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) равна -2, в то время как ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом. Геометрически это множество представляет собой вертикальную прямую, которая параллельна оси ординат ($Oy$) и проходит через точку с координатами $(-2, 0)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

б) $y = 4$

Условие $y = 4$ задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) равна 4. При этом абсцисса (координата $x$) может принимать любое значение. Геометрически это множество представляет собой горизонтальную прямую, которая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и проходит через точку с координатами $(0, 4)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 4)$.

в) $x \le 1$

Неравенство $x \le 1$ описывает множество всех точек, у которых абсцисса меньше или равна 1. Границей этой области является прямая $x = 1$. Эта прямая параллельна оси $Oy$ и проходит через точку $(1, 0)$. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), сама прямая $x = 1$ включается в искомое множество. Множество также включает все точки, лежащие левее этой прямой. Таким образом, это полуплоскость.

Ответ: Полуплоскость, расположенная слева от прямой $x=1$ и включающая эту прямую в качестве границы.

г) $y \ge 0$

Неравенство $y \ge 0$ описывает множество всех точек, у которых ордината больше или равна 0. Границей этой области является прямая $y = 0$, что совпадает с осью абсцисс ($Ox$). Неравенство является нестрогим ($ \ge $), поэтому сама ось $Ox$ принадлежит множеству. Также в множество входят все точки, расположенные выше оси $Ox$. Эта область представляет собой верхнюю полуплоскость.

Ответ: Верхняя полуплоскость, ограниченная снизу осью абсцисс ($Ox$) и включающая эту ось.

д) $1,5 \le y \le 3,5$

Двойное неравенство $1,5 \le y \le 3,5$ задает множество точек, ордината которых находится в пределах от 1,5 до 3,5 включительно, а абсцисса $x$ может быть любой. Эта область ограничена двумя горизонтальными прямыми: $y = 1,5$ и $y = 3,5$. Искомое множество представляет собой бесконечную горизонтальную полосу, заключенную между этими прямыми, включая сами прямые.

Ответ: Горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y = 1,5$ и $y = 3,5$, включая эти прямые.

е) $-2 \le x \le 1$ и $2 \le y \le 4$

Данная система условий требует одновременного выполнения двух двойных неравенств.
1. Неравенство $-2 \le x \le 1$ задает вертикальную полосу между прямыми $x = -2$ и $x = 1$.
2. Неравенство $2 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y = 2$ и $y = 4$.
Искомое множество точек является пересечением этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует на плоскости прямоугольник. Так как все неравенства нестрогие, границы (стороны прямоугольника) включаются в множество. Вершины этого прямоугольника находятся в точках пересечения граничных прямых: $(-2, 2)$, $(1, 2)$, $(1, 4)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: Прямоугольник (включая его стороны и внутреннюю область) с вершинами в точках $(-2, 2)$, $(1, 2)$, $(1, 4)$ и $(-2, 4)$.

3 Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям $y=x^2$ и $-2 \le x \le 2$.

Задача состоит в том, чтобы на координатной плоскости изобразить множество точек, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $y = x^2$ и $-2 \le x \le 2$.

Первое условие, $y = x^2$, задает график функции, который является параболой. Основные свойства этой параболы:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ветви параболы направлены вверх.
• Парабола симметрична относительно оси ординат ($Oy$).

Второе условие, $-2 \le x \le 2$, накладывает ограничение на абсциссы точек. Это означает, что мы должны изобразить не всю параболу, а только ее часть, для которой координата $x$ находится в промежутке от $-2$ до $2$ включительно.

Для построения этого участка графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему, включая граничные точки (концы промежутка). Составим таблицу значений:

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Поскольку неравенство $ -2 \le x \le 2 $ нестрогое, точки на концах дуги, $(-2, 4)$ и $(2, 4)$, принадлежат искомому множеству. На графике они обозначаются закрашенными кружками.

В результате мы получаем дугу параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и концами в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть параболы $y = x^2$, ограниченная абсциссами $x = -2$ и $x = 2$. Графически это дуга параболы с вершиной в точке $(0,0)$ и концами в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$, включая сами эти точки. Изображение представлено выше.

4 Постройте график зависимости:

а) $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 1 \\ 1 & \text{при } x < 1 \end{cases}$;

б) $y = \begin{cases} x^3 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0 \end{cases}$.

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график для каждого из двух промежутков, на которые разбита числовая ось.

1. На промежутке $x \ge 1$ функция задается формулой $y=x$. Графиком этой зависимости является прямая линия. Так как мы рассматриваем только значения $x$, которые больше или равны 1, то графиком будет луч, выходящий из точки с абсциссой $x=1$. Найдем ординату этой точки: при $x=1$, $y=1$. Таким образом, луч начинается в точке $(1, 1)$. Эта точка принадлежит графику, так как неравенство $x \ge 1$ нестрогое. Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=3$, $y=3$. Проводим луч через точки $(1, 1)$ и $(3, 3)$.

2. На промежутке $x < 1$ функция задается формулой $y=1$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 1)$ параллельно оси абсцисс. Так как мы рассматриваем только значения $x < 1$, то от всей прямой мы берем только луч, расположенный левее прямой $x=1$. Конечная точка этого луча — $(1, 1)$, но она не включается в эту часть графика (является «выколотой»), так как неравенство $x < 1$ строгое.

3. Совместим полученные части на одной координатной плоскости. Луч $y=x$ начинается в точке $(1, 1)$, а горизонтальный луч $y=1$ подходит к этой же точке слева. Таким образом, «выколотая» точка одной части графика «закрашивается» начальной точкой другой части. В результате получается непрерывная ломаная линия.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(1, 1)$. Для $x < 1$ это горизонтальный луч $y=1$, идущий влево. Для $x \ge 1$ это луч $y=x$, идущий вправо и вверх под углом 45° к оси абсцисс.

б)

Эта функция также является кусочно-заданной. Построим ее график по частям.

1. На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y=x^3$. Графиком является кубическая парабола. Нас интересует ее правая ветвь, расположенная в первой координатной четверти. Построим ее по точкам:

• при $x=0$, $y=0^3=0$. Точка $(0, 0)$ является начальной и принадлежит графику.
• при $x=1$, $y=1^3=1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• при $x=2$, $y=2^3=8$. Точка $(2, 8)$ принадлежит графику.

Соединив точки, получаем плавно возрастающую кривую, выходящую из начала координат.

2. На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y=-x$. Графиком является прямая линия, а именно биссектриса второго координатного угла. Так как мы рассматриваем только $x < 0$, то от прямой берем луч, расположенный во второй координатной четверти. Найдем точки для построения:

• при $x=-1$, $y=-(-1)=1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
• при $x=-2$, $y=-(-2)=2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит графику.

Этот луч подходит к началу координат, точке $(0, 0)$, но сама точка не включается в эту часть графика, так как неравенство $x < 0$ строгое.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Ветвь кубической параболы $y=x^3$ начинается в точке $(0, 0)$, а луч $y=-x$ подходит к этой же точке слева. В точке $(0, 0)$ графики обеих частей смыкаются, образуя непрерывную линию.

Ответ: График функции состоит из двух частей, которые соединяются в точке $(0, 0)$. При $x < 0$ это луч $y=-x$, расположенный во второй координатной четверти. При $x \ge 0$ это ветвь кубической параболы $y=x^3$, расположенная в первой координатной четверти.

5 На рисунке 5.55 изображён график температуры воздуха 1 апреля 2010 г. в городе N.

а) В какое время суток температура была равна 0°?

б) Когда в течение суток температура была положительной?

в) Какова была максимальная температура в этот день?

$T,^{\circ}C$

$t, \text{ч}$

Рис. 5.55

а) В какое время суток температура была равна 0°?

Чтобы определить, в какое время температура была равна 0°C, необходимо найти на графике точки, в которых линия температуры пересекает горизонтальную ось времени t (ось абсцисс). Эта ось соответствует нулевому значению температуры ($T = 0°\text{C}$).

Изучив график, мы видим, что линия температуры пересекает ось времени в трёх точках:

• В 2 часа ночи ($t=2$ ч);
• В 14 часов дня ($t=14$ ч);
• В 22 часа вечера ($t=22$ ч).

Ответ: 2 ч, 14 ч, 22 ч.

б) Когда в течение суток температура была положительной?

Положительная температура ($T > 0°\text{C}$) наблюдалась в те промежутки времени, когда график находился выше оси времени t.

На графике видно два таких интервала:

1. С начала суток (0 часов) до 2 часов. В этот период температура опускалась с 1°C до 0°C, оставаясь положительной.

2. С 14 часов до 22 часов. В этот период температура была выше 0°C, достигнув своего максимума и затем снова опустившись до 0°C.

Ответ: с 0 ч до 2 ч и с 14 ч до 22 ч.

в) Какова была максимальная температура в этот день?

Максимальная температура за сутки соответствует самой высокой точке на графике.

Находим на графике наивысшую точку. По оси времени (горизонтальной) этой точке соответствует значение $t = 16$ ч. По оси температуры (вертикальной) этой точке соответствует значение $T = 4$ °C.

Следовательно, самая высокая температура, зафиксированная в этот день, составила 4°C.

Ответ: 4 °C.