Номер 515, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Координаты и графики - номер 515, страница 157.

515 Прочитайте неравенство, используя слово «расстояние», и найдите с помощью координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству:

а) $|x| \ge |x - 1|;$

б) $|x + 2| \le |x - 2|.$

а) $|x| \ge |x - 1|$

Словесная формулировка неравенства: расстояние от точки $x$ на координатной прямой до точки 0 больше или равно расстоянию от точки $x$ до точки 1.

Геометрически это означает, что мы ищем множество таких точек $M(x)$, которые расположены не ближе к точке $A(0)$, чем к точке $B(1)$.

Точка, которая находится на одинаковом расстоянии от точек 0 и 1, является серединой отрезка, соединяющего их. Координата этой точки равна $x = \frac{0 + 1}{2} = 0.5$.

Все точки, которые находятся ближе к точке 1, чем к точке 0, или на равном расстоянии, расположены на координатной прямой правее точки 0.5, включая саму точку 0.5. Таким образом, решением неравенства является промежуток $[0.5, +\infty)$.

Алгебраическое решение для проверки: так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$|x|^2 \ge |x-1|^2$
$x^2 \ge (x-1)^2$
$x^2 \ge x^2 - 2x + 1$
$0 \ge -2x + 1$
$2x \ge 1$
$x \ge 0.5$

Ответ: $x \in [0.5, +\infty)$.

б) $|x + 2| \le |x - 2|$

Преобразуем неравенство к виду $|x - (-2)| \le |x - 2|$. Словесная формулировка: расстояние от точки $x$ на координатной прямой до точки -2 меньше или равно расстоянию от точки $x$ до точки 2.

Геометрически мы ищем множество таких точек $M(x)$, которые расположены не дальше от точки $A(-2)$, чем от точки $B(2)$.

Точка, равноудаленная от точек -2 и 2, является серединой отрезка между ними. Координата этой точки равна $x = \frac{-2 + 2}{2} = 0$.

Все точки, которые находятся ближе к точке -2, чем к точке 2, или на равном расстоянии, расположены на координатной прямой левее точки 0, включая саму точку 0. Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-\infty, 0]$.

Алгебраическое решение для проверки:
$|x+2|^2 \le |x-2|^2$
$(x+2)^2 \le (x-2)^2$
$x^2 + 4x + 4 \le x^2 - 4x + 4$
$4x \le -4x$
$8x \le 0$
$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.