Номер 512, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Координаты и графики - номер 512, страница 156.

512 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству:

а) $ |x-4|=2 $, $ |x-4|<2 $, $ |x-4|>2; $

б) $ |x+3|=4 $, $ |x+3|<4 $, $ |x+3|>4. $

а)

1. Решим уравнение $|x - 4| = 2$.

Геометрически выражение $|x - a|$ означает расстояние на координатной прямой между точками с координатами $x$ и $a$. Следовательно, $|x - 4| = 2$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ равно $2$. На координатной прямой есть две такие точки: одна на 2 единицы правее точки 4, а другая — на 2 единицы левее.

Первая точка: $x_1 = 4 + 2 = 6$.

Вторая точка: $x_2 = 4 - 2 = 2$.

Алгебраически это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 4 = 2$ или $x - 4 = -2$.

Из первого уравнения получаем $x = 6$. Из второго — $x = 2$.

На координатной прямой это множество изображается двумя закрашенными точками с координатами 2 и 6.

Ответ: Множество состоит из двух точек: $x=2$ и $x=6$.

2. Решим неравенство $|x - 4| < 2$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ меньше $2$. Это все точки, которые лежат между точками $4 - 2 = 2$ и $4 + 2 = 6$.

Алгебраически это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 < x - 4 < 2$

Прибавим $4$ ко всем частям неравенства:

$-2 + 4 < x < 2 + 4$

$2 < x < 6$

На координатной прямой это множество изображается интервалом $(2, 6)$. Концы интервала, точки 2 и 6, не включаются в множество и изображаются выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: Множество точек является интервалом $(2, 6)$.

3. Решим неравенство $|x - 4| > 2$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ больше $2$. Это все точки, которые лежат левее точки $4 - 2 = 2$ или правее точки $4 + 2 = 6$.

Алгебраически это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 4 > 2$ или $x - 4 < -2$

$x > 6$ или $x < 2$

На координатной прямой это множество изображается объединением двух лучей: $(-\infty, 2)$ и $(6, \infty)$. Точки 2 и 6 не включаются в множество и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Множество точек является объединением интервалов $(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

б)

1. Решим уравнение $|x + 3| = 4$.

Перепишем уравнение в виде $|x - (-3)| = 4$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-3$ равно $4$.

Первая точка: $x_1 = -3 + 4 = 1$.

Вторая точка: $x_2 = -3 - 4 = -7$.

Алгебраически это уравнение равносильно совокупности:

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$.

Из первого уравнения получаем $x = 1$. Из второго — $x = -7$.

На координатной прямой это множество изображается двумя закрашенными точками с координатами -7 и 1.

Ответ: Множество состоит из двух точек: $x=-7$ и $x=1$.

2. Решим неравенство $|x + 3| < 4$.

Геометрически, $|x - (-3)| < 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-3$ меньше $4$. Это все точки, лежащие между точками $-3 - 4 = -7$ и $-3 + 4 = 1$.

Алгебраически это неравенство равносильно:

$-4 < x + 3 < 4$

Вычтем $3$ из всех частей неравенства:

$-4 - 3 < x < 4 - 3$

$-7 < x < 1$

На координатной прямой это множество изображается интервалом $(-7, 1)$. Точки -7 и 1 не включаются в множество и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Множество точек является интервалом $(-7, 1)$.

3. Решим неравенство $|x + 3| > 4$.

Геометрически, $|x - (-3)| > 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-3$ больше $4$. Это все точки, лежащие левее точки $-3 - 4 = -7$ или правее точки $-3 + 4 = 1$.

Алгебраически это неравенство равносильно совокупности:

$x + 3 > 4$ или $x + 3 < -4$

$x > 1$ или $x < -7$

На координатной прямой это множество изображается объединением двух лучей: $(-\infty, -7)$ и $(1, \infty)$. Точки -7 и 1 не включаются в множество и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Множество точек является объединением интервалов $(-\infty, -7) \cup (1, \infty)$.