Номер 556, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 556, страница 168.

556 Вычислите:

a) $ \frac{5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n}{5^n + 5^n + 5^n + 5^n} $;

б) 100 слагаемых
$ \frac{100^n + 100^n + 100^n + \ldots + 100^n}{100^n + 100^n + 100^n + \ldots + 100^n} $
90 слагаемых.

а)

Рассмотрим выражение $ \displaystyle\frac{5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n}{5^n + 5^n + 5^n + 5^n} $.
В числителе находится сумма пяти одинаковых слагаемых $5^n$. Эту сумму можно представить в виде произведения: $5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n = 5 \cdot 5^n$.
В знаменателе находится сумма четырех одинаковых слагаемых $5^n$. Эта сумма равна $4 \cdot 5^n$.
Подставим эти выражения обратно в дробь: $ \displaystyle\frac{5 \cdot 5^n}{4 \cdot 5^n} $.
Теперь можно сократить общий множитель $5^n$, так как он отличен от нуля: $ \displaystyle\frac{5 \cdot \cancel{5^n}}{4 \cdot \cancel{5^n}} = \frac{5}{4} $.
Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную: $ \displaystyle\frac{5}{4} = 1.25 $.
Ответ: $1.25$

б)

Рассмотрим выражение $ \displaystyle\frac{\overbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}^{\text{100 слагаемых}}}{\underbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}_{\text{90 слагаемых}}} $.
Числитель представляет собой сумму 100 одинаковых слагаемых $100^n$. Эту сумму можно записать как произведение: $100 \cdot 100^n$.
Знаменатель представляет собой сумму 90 одинаковых слагаемых $100^n$. Эту сумму можно записать как $90 \cdot 100^n$.
Подставим полученные выражения в дробь: $ \displaystyle\frac{100 \cdot 100^n}{90 \cdot 100^n} $.
Сократим общий множитель $100^n$ в числителе и знаменателе: $ \displaystyle\frac{100 \cdot \cancel{100^n}}{90 \cdot \cancel{100^n}} = \frac{100}{90} $.
Сократим полученную дробь на 10: $ \displaystyle\frac{100}{90} = \frac{10}{9} $.
Ответ: $\displaystyle\frac{10}{9}$