Номер 549, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 549, страница 167.

549 АНАЛИЗИРУЕМ Дана таблица степеней числа 3.

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

$3^7 = 2187$

$3^8 = 6561$

$3^9 = 19683$

$3^{10} = 59049$

$3^{11} = 177147$

$3^{12} = 531441$

1) Пользуясь этой таблицей, вычислите:

а) $729 \cdot 81$;

б) $2187 \cdot 243$;

в) $\frac{177147}{729}$;

г) $\frac{59049 \cdot 6561}{2187}$.

2) Составьте несколько выражений, значения которых можно найти, пользуясь таблицей степеней числа 3.

1) Для решения примеров воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Заменим числа в выражениях на степени числа 3, используя данные из таблицы.

а) $729 \cdot 81$

Из таблицы находим, что $729 = 3^6$ и $81 = 3^4$.

Следовательно, $729 \cdot 81 = 3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$.

По таблице $3^{10} = 59049$.

Ответ: $59049$.

б) $2187 \cdot 243$

Из таблицы находим, что $2187 = 3^7$ и $243 = 3^5$.

Следовательно, $2187 \cdot 243 = 3^7 \cdot 3^5 = 3^{7+5} = 3^{12}$.

По таблице $3^{12} = 531441$.

Ответ: $531441$.

в) $\frac{177147}{729}$

Из таблицы находим, что $177147 = 3^{11}$ и $729 = 3^6$.

Следовательно, $\frac{177147}{729} = \frac{3^{11}}{3^6} = 3^{11-6} = 3^5$.

По таблице $3^5 = 243$.

Ответ: $243$.

г) $\frac{59049 \cdot 6561}{2187}$

Из таблицы находим, что $59049 = 3^{10}$, $6561 = 3^8$ и $2187 = 3^7$.

Следовательно, $\frac{59049 \cdot 6561}{2187} = \frac{3^{10} \cdot 3^8}{3^7} = \frac{3^{10+8}}{3^7} = \frac{3^{18}}{3^7} = 3^{18-7} = 3^{11}$.

По таблице $3^{11} = 177147$.

Ответ: $177147$.

2) Можно составить множество выражений, для вычисления которых используется данная таблица. Главное условие — чтобы итоговая степень числа 3 находилась в диапазоне от 1 до 12. Вот несколько примеров:

Пример 1: $27 \cdot 81$

Решение: $27 \cdot 81 = 3^3 \cdot 3^4 = 3^{3+4} = 3^7$.

По таблице $3^7 = 2187$.

Ответ: $2187$.

Пример 2: $\frac{531441}{6561}$

Решение: $\frac{531441}{6561} = \frac{3^{12}}{3^8} = 3^{12-8} = 3^4$.

По таблице $3^4 = 81$.

Ответ: $81$.

Пример 3: $\frac{19683 \cdot 3}{243}$

Решение: $\frac{19683 \cdot 3}{243} = \frac{3^9 \cdot 3^1}{3^5} = \frac{3^{10}}{3^5} = 3^{10-5} = 3^5$.

По таблице $3^5 = 243$.

Ответ: $243$.