Номер 547, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 547, страница 167.

547 РАССУЖДАЕМ Сравните значения выражений:

а) $10^{11}$ и $11 \cdot 10^{10}$;

б) $5 \cdot 10^7$ и $0,5 \cdot 10^8$;

в) $(-4)^{18}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$;

г) $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $(-3)^{33}$.

а) Чтобы сравнить значения выражений $10^{11}$ и $11 \cdot 10^{10}$, приведем их к общему множителю.
Представим $10^{11}$ в виде произведения с множителем $10^{10}$:
$10^{11} = 10^1 \cdot 10^{10} = 10 \cdot 10^{10}$.
Теперь сравним выражения $10 \cdot 10^{10}$ и $11 \cdot 10^{10}$.
Так как общий множитель $10^{10}$ является положительным числом, нам достаточно сравнить коэффициенты перед ним: 10 и 11.
Поскольку $10 < 11$, то и $10 \cdot 10^{10} < 11 \cdot 10^{10}$.
Следовательно, $10^{11} < 11 \cdot 10^{10}$.
Ответ: $10^{11} < 11 \cdot 10^{10}$.

б) Чтобы сравнить значения выражений $5 \cdot 10^7$ и $0,5 \cdot 10^8$, приведем их к одному и тому же показателю степени у числа 10.
Преобразуем второе выражение:
$0,5 \cdot 10^8 = 0,5 \cdot 10 \cdot 10^7 = 5 \cdot 10^7$.
Теперь мы сравниваем $5 \cdot 10^7$ и $5 \cdot 10^7$.
Эти выражения равны.
Ответ: $5 \cdot 10^7 = 0,5 \cdot 10^8$.

в) Сравним значения выражений $(-4)^{18}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$.
Сначала определим знаки выражений.
Выражение $(-4)^{18}$ — это отрицательное число в четной степени, результат будет положительным: $(-4)^{18} > 0$.
Выражение $(-4)^{17}$ — это отрицательное число в нечетной степени, результат будет отрицательным. При умножении на -5 (отрицательное число), итоговый результат будет положительным: $-5 \cdot (-4)^{17} > 0$.
Теперь приведем выражения к общему множителю. Представим $(-4)^{18}$ как $(-4) \cdot (-4)^{17}$.
Сравниваем $(-4) \cdot (-4)^{17}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$.
Общий множитель $(-4)^{17}$ является отрицательным числом.
Сравним коэффициенты: $-4 > -5$.
При умножении обеих частей этого неравенства на отрицательное число $(-4)^{17}$ знак неравенства меняется на противоположный:
$(-4) \cdot (-4)^{17} < (-5) \cdot (-4)^{17}$.
Следовательно, $(-4)^{18} < -5 \cdot (-4)^{17}$.
Ответ: $(-4)^{18} < -5 \cdot (-4)^{17}$.

г) Сравним значения выражений $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $(-3)^{33}$.
Сначала определим знаки выражений.
Выражение $(-3)^{32}$ — это отрицательное число в четной степени, поэтому результат положительный. При умножении на -4, итоговое выражение $-4 \cdot (-3)^{32}$ будет отрицательным.
Выражение $(-3)^{33}$ — это отрицательное число в нечетной степени, поэтому результат будет отрицательным.
Оба выражения отрицательны. Приведем их к общему множителю.
Представим $(-3)^{33}$ как $(-3) \cdot (-3)^{32}$.
Теперь сравниваем $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $-3 \cdot (-3)^{32}$.
Общий множитель $(-3)^{32}$ является положительным числом.
Следовательно, нам нужно сравнить только коэффициенты: -4 и -3.
Поскольку $-4 < -3$, то и $-4 \cdot (-3)^{32} < -3 \cdot (-3)^{32}$.
Следовательно, $-4 \cdot (-3)^{32} < (-3)^{33}$.
Ответ: $-4 \cdot (-3)^{32} < (-3)^{33}$.