Номер 548, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 548, страница 167.

548 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $\frac{5^7}{25 \cdot 125}$

б) $\frac{64 \cdot 32}{2^{10}}$

в) $\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6}$

а) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{5^7}{25 \cdot 125}$, представим числа в знаменателе в виде степеней с основанием 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Подставим эти значения в выражение:
$\frac{5^7}{25 \cdot 125} = \frac{5^7}{5^2 \cdot 5^3}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^7}{5^5}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{5^7}{5^5} = 5^{7-5} = 5^2$.
Вычисляем результат: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

б) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{64 \cdot 32}{2^{10}}$, представим числа в числителе в виде степеней с основанием 2. Мы знаем, что $64 = 2^6$ и $32 = 2^5$. Подставим эти значения в выражение:
$\frac{64 \cdot 32}{2^{10}} = \frac{2^6 \cdot 2^5}{2^{10}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2^6 \cdot 2^5 = 2^{6+5} = 2^{11}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{11}}{2^{10}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{2^{11}}{2^{10}} = 2^{11-10} = 2^1$.
Вычисляем результат: $2^1 = 2$.
Ответ: 2

в) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6}$, представим числа 16 и 81 в виде степеней. Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$. Подставим эти значения в выражение:
$\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6} = \frac{2^4 \cdot 3^6}{3^4 \cdot 2^6}$
Сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями: $\frac{2^4}{2^6} \cdot \frac{3^6}{3^4}$.
Теперь применим правило деления степеней (показатели вычитаются):
$\frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2}$
$\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2$
Перемножим полученные результаты: $2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$.
Результат можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{9}{4} = 2,25$.
Ответ: $\frac{9}{4}$