Номер 614, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.5. Круговые перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 614, страница 182.

614 Сколько ожерелий можно составить из 20 различных бусин?

Сколько ожерелий можно составить из 20 различных бусин?

Решение этой задачи по комбинаторике требует учета двух типов симметрии: вращательной (циклической) и зеркальной (возможности перевернуть ожерелье).

1. Сначала определим количество способов, которыми можно расположить 20 различных бусин в один ряд. Это стандартная задача на перестановки, и количество таких способов равно $20!$ (20 факториал).

2. Когда мы соединяем концы ряда, чтобы сформировать ожерелье, мы создаем круговое расположение. В круговом расположении варианты, которые можно получить друг из друга простым поворотом, считаются одним и тем же. Для любого расположения бусин существует 20 его копий, которые получаются циклическим сдвигом (включая исходное). Следовательно, чтобы найти количество уникальных круговых перестановок, нужно разделить общее число линейных перестановок на количество бусин $n$.

Формула для числа круговых перестановок из $n$ различных элементов:

$N_{круговые} = \frac{n!}{n} = (n-1)!$

Для 20 бусин ($n=20$) число круговых перестановок составляет:

$(20-1)! = 19!$

3. Ожерелье можно не только вращать, но и переворачивать. При переворачивании ожерелья мы видим его зеркальное отражение. Порядок следования бусин становится обратным (например, с "по часовой стрелке" на "против часовой стрелки"). Если расположение не является симметричным относительно оси отражения, то его зеркальный образ — это другое круговое расположение из тех, что мы посчитали на шаге 2. Таким образом, два разных круговых расположения (оригинал и его отражение) образуют одно и то же ожерелье. Это означает, что для нахождения итогового числа уникальных ожерелий мы должны разделить количество круговых перестановок на 2. Эта формула справедлива для $n > 2$.

Формула для количества ожерелий из $n$ различных бусин:

$N_{ожерелье} = \frac{(n-1)!}{2}$

Подставим наше значение $n=20$:

$N_{ожерелье} = \frac{(20-1)!}{2} = \frac{19!}{2}$

Вычислим это значение. Сначала найдем $19!$:

$19! = 121 \ 645 \ 100 \ 408 \ 832 \ 000$

Теперь разделим результат на 2:

$\frac{19!}{2} = \frac{121 \ 645 \ 100 \ 408 \ 832 \ 000}{2} = 60 \ 822 \ 550 \ 204 \ 416 \ 000$

Ответ: $\frac{19!}{2}$ или $60 \ 822 \ 550 \ 204 \ 416 \ 000$.