Номер 619, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 619, страница 183.

619 Упростите выражение:

а) $2^{2n} \cdot 16$;

б) $2^3 \cdot 8^n$;

в) $25^n \cdot 125^5$;

г) $9^4 \cdot 81^{2n}$.

а) $2^{2n} \cdot 16$

Для упрощения выражения необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 2. Представим число 16 как степень числа 2:

$16 = 2^4$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$2^{2n} \cdot 16 = 2^{2n} \cdot 2^4$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это свойство:

$2^{2n} \cdot 2^4 = 2^{2n+4}$

Ответ: $2^{2n+4}$

б) $2^3 \cdot 8^n$

Чтобы упростить выражение, приведем все множители к общему основанию 2. Представим число 8 как степень числа 2:

$8 = 2^3$

Подставим это значение в выражение:

$2^3 \cdot 8^n = 2^3 \cdot (2^3)^n$

Далее используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^3 \cdot (2^3)^n = 2^3 \cdot 2^{3 \cdot n} = 2^3 \cdot 2^{3n}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^3 \cdot 2^{3n} = 2^{3+3n}$

Ответ: $2^{3n+3}$

в) $25^n \cdot 125^5$

Для упрощения приведем множители к общему основанию 5. Представим числа 25 и 125 как степени числа 5:

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$25^n \cdot 125^5 = (5^2)^n \cdot (5^3)^5$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для обоих множителей:

$(5^2)^n \cdot (5^3)^5 = 5^{2 \cdot n} \cdot 5^{3 \cdot 5} = 5^{2n} \cdot 5^{15}$

Наконец, применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{2n} \cdot 5^{15} = 5^{2n+15}$

Ответ: $5^{2n+15}$

г) $9^4 \cdot 81^{2n}$

Приведем все множители к общему основанию. Можно выбрать основание 9, так как $81 = 9^2$. Или можно выбрать основание 3, так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$. Выберем основание 3.

$9 = 3^2$

$81 = 3^4$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$9^4 \cdot 81^{2n} = (3^2)^4 \cdot (3^4)^{2n}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^4 \cdot (3^4)^{2n} = 3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{4 \cdot 2n} = 3^8 \cdot 3^{8n}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^8 \cdot 3^{8n} = 3^{8+8n}$

Ответ: $3^{8n+8}$