Номер 618, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 618, страница 182.

618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной:

а) $\frac{(2x)^4}{(4x)^2}$ при $x = -\frac{2}{3}$;

б) $\frac{(9y)^3}{(3y)^5}$ при $y = \frac{1}{3}$;

в) $\frac{(2a)^3(2a)^2}{(4a)^2}$ при $a = -0,1$;

г) $\frac{(4c)^5(2c)^6}{(4c)^6}$ при $c = -0,5$.

а) Сначала упростим выражение $\frac{(2x)^4}{(4x^2)^2}$.
Для этого используем свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Раскроем скобки в числителе: $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$.
Раскроем скобки в знаменателе: $(4x^2)^2 = 4^2 \cdot (x^2)^2 = 16x^4$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{16x^4}{16x^4} = 1$.
Это равенство верно для любого значения $x$, при котором знаменатель не обращается в ноль (т.е. $x \neq 0$).
Так как по условию $x = -\frac{2}{3} \neq 0$, значение выражения не зависит от $x$ и равно 1.
Ответ: 1

б) Упростим выражение $\frac{(9y)^3}{(3y)^5}$.
Раскроем скобки, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$:
Числитель: $(9y)^3 = 9^3 \cdot y^3 = 729y^3$.
Знаменатель: $(3y)^5 = 3^5 \cdot y^5 = 243y^5$.
Выражение принимает вид: $\frac{729y^3}{243y^5}$.
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{729}{243} = 3$.
Сократим степени переменной, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{y^3}{y^5} = y^{3-5} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3}{y^2}$.
Теперь подставим в него значение $y = \frac{1}{3}$:
$\frac{3}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{3}{\frac{1}{9}} = 3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27

в) Упростим выражение $\frac{(2a)^3(2a)^2}{(4a)^2}$.
В числителе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(2a)^3(2a)^2 = (2a)^{3+2} = (2a)^5$.
Выражение примет вид $\frac{(2a)^5}{(4a)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
Числитель: $(2a)^5 = 2^5 \cdot a^5 = 32a^5$.
Знаменатель: $(4a)^2 = 4^2 \cdot a^2 = 16a^2$.
Получаем дробь: $\frac{32a^5}{16a^2}$.
Сокращаем ее: $\frac{32}{16} \cdot \frac{a^5}{a^2} = 2 \cdot a^{5-2} = 2a^3$.
Теперь подставим значение $a = -0,1$ в упрощенное выражение:
$2 \cdot (-0,1)^3 = 2 \cdot (-0,001) = -0,002$.
Ответ: -0,002

г) Упростим выражение $\frac{(4c)^5(2c)^6}{(4c)^6}$.
Сократим дробь на $(4c)^5$:
$\frac{(4c)^5(2c)^6}{(4c)^6} = \frac{(2c)^6}{(4c)^{6-5}} = \frac{(2c)^6}{4c}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(2c)^6 = 2^6 \cdot c^6 = 64c^6$.
Выражение примет вид $\frac{64c^6}{4c}$.
Сократим коэффициенты и переменную:
$\frac{64}{4} \cdot \frac{c^6}{c} = 16 \cdot c^{6-1} = 16c^5$.
Теперь подставим значение $c = -0,5$ в упрощенное выражение.
Можно представить $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$:
$16 \cdot (-0,5)^5 = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^5 = 16 \cdot (-\frac{1^5}{2^5}) = 16 \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{16}{32} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
Ответ: -0,5