Номер 631, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 631, страница 184.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (631–633)

631 Игральный кубик подбрасывают 5 раз и каждый раз записывают число выпавших очков. Результатом эксперимента является последовательность из пяти цифр.

а) Каково число возможных результатов эксперимента?

б) Сколько существует результатов эксперимента, в которых ни разу не встречается шестёрка?

в) Сколько существует результатов эксперимента, в которых хотя бы раз встречается шестёрка?

а) Каково число возможных результатов эксперимента?

Эксперимент состоит из 5 независимых бросков игрального кубика. При каждом броске возможно 6 различных исходов (числа от 1 до 6). Результат эксперимента — это упорядоченная последовательность из 5 чисел.

Для первой позиции в последовательности есть 6 вариантов. Для второй позиции в последовательности также 6 вариантов. И так далее для всех пяти позиций.

Общее число возможных результатов находится по правилу произведения. Это соответствует числу размещений с повторениями из 6 элементов по 5. Формула для этого: $N = n^k$, где $n=6$ (число граней кубика), а $k=5$ (число бросков).
$N = 6^5 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 7776$.

Ответ: 7776.

б) Сколько существует результатов эксперимента, в которых ни разу не встречается шестёрка?

Если в результатах не должно быть шестёрки, то для каждого из 5 бросков возможны только 5 исходов: {1, 2, 3, 4, 5}.

Таким образом, для каждой из пяти позиций в последовательности есть 5 вариантов. По аналогии с пунктом а), общее число таких результатов равно:
$N_{без\_6} = 5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 3125$.

Ответ: 3125.

в) Сколько существует результатов эксперимента, в которых хотя бы раз встречается шестёрка?

Событие "хотя бы раз встречается шестёрка" является противоположным (дополнительным) событию "ни разу не встречается шестёрка".

Все возможные результаты эксперимента можно разделить на две группы, не пересекающиеся между собой:
1. Результаты, в которых шестёрка не встречается ни разу.
2. Результаты, в которых шестёрка встречается хотя бы один раз.

Следовательно, чтобы найти количество результатов, в которых шестёрка встречается хотя бы раз, нужно из общего числа всех возможных результатов вычесть число результатов, в которых шестёрка не встречается.
Общее число результатов было найдено в пункте а) и равно $N_{всего} = 7776$.
Число результатов без шестёрки было найдено в пункте б) и равно $N_{без\_6} = 3125$.

Тогда число результатов, в которых шестёрка встречается хотя бы раз, равно:
$N_{хотя\_бы\_1\_шестерка} = N_{всего} - N_{без\_6} = 6^5 - 5^5 = 7776 - 3125 = 4651$.

Ответ: 4651.