Номер 633, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 633, страница 184.

633 Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее количество всех десятизначных чисел, а затем вычтем из него количество десятизначных чисел, в которых все цифры различны. Результатом будет количество чисел, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры.

1. Найдем общее количество десятизначных чисел.

Десятизначное число состоит из 10 цифр. На первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с нуля. На каждом из следующих девяти мест может стоять любая цифра от 0 до 9 (10 вариантов для каждой позиции).

Следовательно, общее количество десятизначных чисел $N_{общ}$ равно:

$N_{общ} = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9 \cdot 10^9 = 9 000 000 000$

2. Найдем количество десятизначных чисел, в которых все цифры различны.

Такое число должно содержать все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ровно по одному разу. Это задача на перестановки с ограничением.

• На первую позицию можно поставить любую из 9 цифр (все, кроме 0).
• На вторую позицию можно поставить любую из оставшихся 9 цифр (теперь 0 использовать можно).
• На третью позицию — любую из оставшихся 8 цифр.
• ...и так далее, до последней позиции, на которую останется 1 цифра.

Количество таких чисел $N_{разл}$ можно вычислить как:

$N_{разл} = 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 9 \cdot 9!$

Рассчитаем значение факториала:

$9! = 362 880$

Теперь найдем $N_{разл}$:

$N_{разл} = 9 \cdot 362 880 = 3 265 920$

3. Найдем искомое количество чисел.

Чтобы найти количество десятизначных чисел, в которых имеются хотя бы две одинаковые цифры, нужно из общего количества десятизначных чисел вычесть количество чисел, в которых все цифры различны.

$N = N_{общ} - N_{разл} = 9 000 000 000 - 3 265 920 = 8 996 734 080$

Ответ: 8 996 734 080