Номер 6, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 6, страница 185.

6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби.

Правило: чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби, после чего первый результат записать в числитель новой дроби, а второй — в ее знаменатель.

В виде формулы это правило записывается так: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $, где $a$ и $b$ — любые числа (при условии $b \neq 0$), а $n$ — натуральное число.

Пример:

Возведем дробь $ \frac{2}{5} $ в третью степень:

$ (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} $

Если проверить вычисление по определению степени, результат будет тем же:

$ (\frac{2}{5})^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{8}{125} $

Ответ: Правило возведения дроби в степень: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $. Пример: $ (\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125} $.

Докажите соответствующее свойство степени.

Докажем тождество $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $ для любого натурального числа $n$ и любых чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$).

Доказательство:

1. По определению степени с натуральным показателем, выражение $x^n$ является произведением $n$ множителей, каждый из которых равен $x$. Применим это определение к дроби $ \frac{a}{b} $:

$ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} $

2. По правилу умножения дробей, произведение нескольких дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

$ \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ раз}}} $

3. Произведение $n$ множителей, равных $a$, по определению степени есть $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, равных $b$, есть $b^n$.

$ \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n} $

Таким образом, мы приходим к равенству $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказывается на основе определения степени с натуральным показателем и правила умножения дробей, что приводит к цепочке равенств: $ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n} = \frac{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n}}{\underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n}} = \frac{a^n}{b^n} $.