Номер 4, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 4, страница 185.

4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

В виде формулы это правило записывается так:

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

где $a$ – любое число, а $n$ и $m$ – любые натуральные числа.

Ответ: При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{nm}$.

Проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень

Рассмотрим, как возвести степень $(3^2)$ в третью степень. То есть, найдем значение выражения $(3^2)^3$.

Способ 1: По определению степени.

Выражение $(3^2)^3$ означает, что основание $3^2$ нужно умножить само на себя 3 раза:

$(3^2)^3 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2$

Теперь, согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием, мы должны сложить их показатели:

$3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6$

Вычислим значение: $3^6 = 729$.

Способ 2: По правилу возведения степени в степень.

Оставляем основание $3$ без изменений и перемножаем показатели степеней $2$ и $3$:

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

Вычислим значение: $3^6 = 729$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату, что иллюстрирует справедливость правила.

Ответ: Пример: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $n$ и $m$ выполняется равенство: $(a^n)^m = a^{nm}$.

1. Рассмотрим левую часть равенства $(a^n)^m$. По определению степени с натуральным показателем $m$, это выражение представляет собой произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a^n$.

$(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}}$

2. Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$). Применим его к полученному произведению. Основание $a$ останется прежним, а показатели степеней сложатся:

$\underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}} = a^{\overbrace{n+n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}}$

3. Сумма $m$ слагаемых, каждое из которых равно $n$, по определению умножения натуральных чисел есть произведение $n \cdot m$.

$a^{\overbrace{n+n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}} = a^{nm}$

4. Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой: $(a^n)^m = a^{nm}$. Свойство доказано.

Ответ: Доказательство основано на последовательном применении определения степени и правила умножения степеней с одинаковым основанием: $(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}} = a^{\overbrace{n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}} = a^{nm}$.