Номер 7, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 7, страница 185.

7 Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр (все цифры в записи числа различны)?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько трёхзначных чисел можно составить, используя только нечётные цифры, при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Сначала выпишем все нечётные цифры. Это: 1, 3, 5, 7, 9. Всего у нас есть 5 таких цифр.

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотен, десятков и единиц. Мы будем последовательно определять, сколько вариантов есть для заполнения каждой позиции.

1. На позицию сотен (первая цифра) можно поставить любую из 5 нечётных цифр. Таким образом, у нас есть 5 вариантов.

2. На позицию десятков (вторая цифра) можно поставить любую из оставшихся нечётных цифр. Поскольку по условию все цифры должны быть различны, мы не можем использовать ту цифру, которую уже поставили на место сотен. Следовательно, у нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

3. На позицию единиц (третья цифра) можно поставить любую из тех цифр, которые ещё не были использованы. Две цифры уже заняты (на позициях сотен и десятков), поэтому остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно комбинаторному правилу произведения:
$5 \times 4 \times 3 = 60$.

Альтернативно, эту задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений, так как нам важен порядок цифр в числе (например, 135 и 315 — это разные числа). Формула размещений из $n$ элементов по $k$ имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае $n=5$ (количество нечётных цифр) и $k=3$ (количество цифр в числе).
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

Ответ: 60.