Страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

669 Упростите выражения $P + Q$, $P - Q$ и $Q - P$, если:

a) $P = 2x^2 + x - 2$, $Q = 1 + 2x - 2x^2$;

б) $P = 12 - 5a - 10a^2$, $Q = 10 + 4a - 10a^2$.

а)

Даны многочлены $P = 2x^2 + x - 2$ и $Q = 1 + 2x - 2x^2$.

1. Находим сумму $P+Q$:
$P + Q = (2x^2 + x - 2) + (1 + 2x - 2x^2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$P + Q = 2x^2 + x - 2 + 1 + 2x - 2x^2 = (2x^2 - 2x^2) + (x + 2x) + (-2 + 1) = 3x - 1$

2. Находим разность $P-Q$:
$P - Q = (2x^2 + x - 2) - (1 + 2x - 2x^2)$
Раскрываем скобки, меняя знаки у слагаемых многочлена $Q$, и приводим подобные слагаемые:
$P - Q = 2x^2 + x - 2 - 1 - 2x + 2x^2 = (2x^2 + 2x^2) + (x - 2x) + (-2 - 1) = 4x^2 - x - 3$

3. Находим разность $Q-P$:
$Q - P = (1 + 2x - 2x^2) - (2x^2 + x - 2)$
Раскрываем скобки, меняя знаки у слагаемых многочлена $P$, и приводим подобные слагаемые:
$Q - P = 1 + 2x - 2x^2 - 2x^2 - x + 2 = (-2x^2 - 2x^2) + (2x - x) + (1 + 2) = -4x^2 + x + 3$
(Также можно заметить, что $Q-P = -(P-Q) = -(4x^2 - x - 3) = -4x^2 + x + 3$)

Ответ: $P+Q = 3x - 1$; $P-Q = 4x^2 - x - 3$; $Q-P = -4x^2 + x + 3$.

б)

Даны многочлены $P = 12 - 5a - 10a^2$ и $Q = 10 + 4a - 10a^2$.

1. Находим сумму $P+Q$:
$P + Q = (12 - 5a - 10a^2) + (10 + 4a - 10a^2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$P + Q = 12 - 5a - 10a^2 + 10 + 4a - 10a^2 = (-10a^2 - 10a^2) + (-5a + 4a) + (12 + 10) = -20a^2 - a + 22$

2. Находим разность $P-Q$:
$P - Q = (12 - 5a - 10a^2) - (10 + 4a - 10a^2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$P - Q = 12 - 5a - 10a^2 - 10 - 4a + 10a^2 = (-10a^2 + 10a^2) + (-5a - 4a) + (12 - 10) = -9a + 2$

3. Находим разность $Q-P$:
$Q - P = (10 + 4a - 10a^2) - (12 - 5a - 10a^2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$Q - P = 10 + 4a - 10a^2 - 12 + 5a + 10a^2 = (-10a^2 + 10a^2) + (4a + 5a) + (10 - 12) = 9a - 2$
(Также можно заметить, что $Q-P = -(P-Q) = -(-9a + 2) = 9a - 2$)

Ответ: $P+Q = -20a^2 - a + 22$; $P-Q = -9a + 2$; $Q-P = 9a - 2$.

670 Упростите выражения $P - Q + R$ и $P - (Q + R)$, если $P = 2m^2 - m - 1$, $Q = m^2 - 2m$, $R = m - 1$.

Для упрощения выражений подставим заданные многочлены $P = 2m^2 - m - 1$, $Q = m^2 - 2m$ и $R = m - 1$.

P - Q + R

Подставим значения P, Q и R в первое выражение:

$P - Q + R = (2m^2 - m - 1) - (m^2 - 2m) + (m - 1)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$(2m^2 - m - 1) - (m^2 - 2m) + (m - 1) = 2m^2 - m - 1 - m^2 + 2m + m - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2m^2 - m^2) + (-m + 2m + m) + (-1 - 1) = m^2 + 2m - 2$

Ответ: $m^2 + 2m - 2$

P - (Q + R)

Подставим значения P, Q и R во второе выражение:

$P - (Q + R) = (2m^2 - m - 1) - ((m^2 - 2m) + (m - 1))$

Сначала выполним действие в скобках. Сложим многочлены Q и R:

$Q + R = (m^2 - 2m) + (m - 1) = m^2 - 2m + m - 1 = m^2 - m - 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$P - (Q + R) = (2m^2 - m - 1) - (m^2 - m - 1)$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$2m^2 - m - 1 - m^2 + m + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2m^2 - m^2) + (-m + m) + (-1 + 1) = m^2 + 0 + 0 = m^2$

Ответ: $m^2$

671 Выпишите пары противоположных выражений и пары равных выражений:

$2x - 3y$, $2x + 3y$, $3y - 2x$, $-2x - 3y$, $-(2x - 3y)$, $-(3y - 2x)$.

Для того чтобы найти пары равных и противоположных выражений, необходимо сначала упростить те из них, которые содержат скобки, раскрыв их.

1. Упростим выражение $-(2x - 3y)$. Раскрывая скобки, меняем знаки каждого слагаемого внутри на противоположные: $-(2x - 3y) = -2x + 3y$. Используя переместительный закон сложения, это выражение можно записать как $3y - 2x$.

2. Упростим выражение $-(3y - 2x)$. Аналогично, раскроем скобки: $-(3y - 2x) = -3y + 2x$. Поменяв слагаемые местами, получим $2x - 3y$.

Теперь, когда все выражения приведены к простому виду, мы можем сравнить их и найти равные и противоположные пары из исходного списка: $2x-3y$, $2x+3y$, $3y-2x$, $-2x-3y$, $-(2x-3y)$, $-(3y-2x)$.

Пары равных выражений

Равные выражения — это те, которые тождественно равны друг другу. Сравнивая исходные и упрощенные выражения, мы находим следующие пары:

• Выражение $2x - 3y$ равно выражению $-(3y - 2x)$, поскольку, как мы показали выше, $-(3y - 2x) = 2x - 3y$.
• Выражение $3y - 2x$ равно выражению $-(2x - 3y)$, поскольку $-(2x - 3y) = 3y - 2x$.

Ответ: Пары равных выражений: $(2x - 3y \text{ и } -(3y - 2x))$; $(3y - 2x \text{ и } -(2x - 3y))$.

Пары противоположных выражений

Противоположные выражения — это те, сумма которых равна нулю. Для выражения $A$ противоположным является выражение $-A$.

• Возьмем выражение $2x + 3y$. Противоположным для него является $-(2x + 3y) = -2x - 3y$. Оба эти выражения присутствуют в исходном списке.
• Возьмем выражение $2x - 3y$. Противоположным для него является $-(2x - 3y) = -2x + 3y = 3y - 2x$. Выражение $3y - 2x$ также есть в исходном списке.
• Поскольку в списке есть равные выражения, можно составить и другие пары противоположных выражений, комбинируя их. Например, пара $-(3y - 2x)$ и $3y - 2x$ является противоположной, так как $-(3y-2x)$ равно $2x-3y$, а мы уже установили, что $2x-3y$ и $3y-2x$ противоположны.

Ответ: Пары противоположных выражений: $(2x + 3y \text{ и } -2x - 3y)$; $(2x - 3y \text{ и } 3y - 2x)$; $(2x - 3y \text{ и } -(2x - 3y))$; $(-(3y - 2x) \text{ и } 3y - 2x)$; $(-(3y - 2x) \text{ и } -(2x - 3y))$.

672 Многочлен $2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$ представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами.

Чтобы представить многочлен $2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$ в виде разности двух двучленов, необходимо сгруппировать его четыре члена ($2a^3$, $-3a^2$, $-4a$, $5$) в две пары. Одна пара образует уменьшаемый двучлен, а вторая — вычитаемый. Вычитаемый двучлен будет состоять из двух оставшихся членов, взятых с противоположными знаками. Существует 6 возможных способов это сделать, так как есть 6 способов выбрать два члена из четырех для первого двучлена (уменьшаемого).

Вот все возможные способы:

1. Группируем члены $2a^3$ и $-3a^2$. Уменьшаемый двучлен: $(2a^3 - 3a^2)$. Оставшиеся члены $-4a$ и $5$ образуют вычитаемый двучлен после смены знака: $-(-4a + 5) = (4a - 5)$.
   Проверка: $(2a^3 - 3a^2) - (4a - 5) = 2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$.
   Ответ: $(2a^3 - 3a^2) - (4a - 5)$

2. Группируем члены $2a^3$ и $-4a$. Уменьшаемый двучлен: $(2a^3 - 4a)$. Оставшиеся члены $-3a^2$ и $5$ образуют вычитаемый двучлен: $-(-3a^2 + 5) = (3a^2 - 5)$.
   Проверка: $(2a^3 - 4a) - (3a^2 - 5) = 2a^3 - 4a - 3a^2 + 5 = 2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$.
   Ответ: $(2a^3 - 4a) - (3a^2 - 5)$

3. Группируем члены $2a^3$ и $5$. Уменьшаемый двучлен: $(2a^3 + 5)$. Оставшиеся члены $-3a^2$ и $-4a$ образуют вычитаемый двучлен: $-(-3a^2 - 4a) = (3a^2 + 4a)$.
   Проверка: $(2a^3 + 5) - (3a^2 + 4a) = 2a^3 + 5 - 3a^2 - 4a = 2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$.
   Ответ: $(2a^3 + 5) - (3a^2 + 4a)$

4. Группируем члены $-3a^2$ и $-4a$. Уменьшаемый двучлен: $(-3a^2 - 4a)$. Оставшиеся члены $2a^3$ и $5$ образуют вычитаемый двучлен: $-(2a^3 + 5) = (-2a^3 - 5)$.
   Проверка: $(-3a^2 - 4a) - (-2a^3 - 5) = -3a^2 - 4a + 2a^3 + 5 = 2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$.
   Ответ: $(-3a^2 - 4a) - (-2a^3 - 5)$

5. Группируем члены $-3a^2$ и $5$. Уменьшаемый двучлен: $(-3a^2 + 5)$. Оставшиеся члены $2a^3$ и $-4a$ образуют вычитаемый двучлен: $-(2a^3 - 4a) = (-2a^3 + 4a)$.
   Проверка: $(-3a^2 + 5) - (-2a^3 + 4a) = -3a^2 + 5 + 2a^3 - 4a = 2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$.
   Ответ: $(-3a^2 + 5) - (-2a^3 + 4a)$

6. Группируем члены $-4a$ и $5$. Уменьшаемый двучлен: $(-4a + 5)$. Оставшиеся члены $2a^3$ и $-3a^2$ образуют вычитаемый двучлен: $-(2a^3 - 3a^2) = (-2a^3 + 3a^2)$.
   Проверка: $(-4a + 5) - (-2a^3 + 3a^2) = -4a + 5 + 2a^3 - 3a^2 = 2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$.
   Ответ: $(-4a + 5) - (-2a^3 + 3a^2)$

673 Представьте в виде суммы и разности двух каких-либо двучленов трёхчлен:

а) $x^2 + 3x - 1;$

б) $a^2 - 5a + 2;$

в) $m^2 + m - 4;$

г) $y^2 - y + 10.$

а) Для того чтобы представить трехчлен $x^2 + 3x - 1$ в виде суммы двух двучленов, можно разбить средний член $3x$ на два слагаемых, например, $x$ и $2x$. Затем сгруппируем члены: $x^2 + 3x - 1 = x^2 + x + 2x - 1 = (x^2 + x) + (2x - 1)$.
Для представления в виде разности двух двучленов, представим $3x$ как разность $4x - x$ и также сгруппируем: $x^2 + 3x - 1 = x^2 + 4x - x - 1 = (x^2 + 4x) - (x + 1)$.
Ответ: Сумма: $(x^2 + x) + (2x - 1)$; разность: $(x^2 + 4x) - (x + 1)$.

б) Для представления трехчлена $a^2 - 5a + 2$ в виде суммы, разобьем член $-5a$ на $-2a$ и $-3a$ и сгруппируем: $a^2 - 5a + 2 = a^2 - 2a - 3a + 2 = (a^2 - 2a) + (2 - 3a)$.
Для представления в виде разности, разобьем $-5a$ на $-4a$ и $-a$ и сгруппируем: $a^2 - 5a + 2 = a^2 - 4a - a + 2 = (a^2 - 4a) - (a - 2)$.
Ответ: Сумма: $(a^2 - 2a) + (2 - 3a)$; разность: $(a^2 - 4a) - (a - 2)$.

в) Для представления трехчлена $m^2 + m - 4$ в виде суммы, разобьем член $m$ на $2m$ и $-m$: $m^2 + m - 4 = m^2 + 2m - m - 4 = (m^2 + 2m) + (-m - 4)$.
Для представления в виде разности, разобьем $m$ на $3m$ и $-2m$: $m^2 + m - 4 = m^2 + 3m - 2m - 4 = (m^2 + 3m) - (2m + 4)$.
Ответ: Сумма: $(m^2 + 2m) + (-m - 4)$; разность: $(m^2 + 3m) - (2m + 4)$.

г) Для представления трехчлена $y^2 - y + 10$ в виде суммы, разобьем член $-y$ на $-2y$ и $y$: $y^2 - y + 10 = y^2 - 2y + y + 10 = (y^2 - 2y) + (y + 10)$.
Для представления в виде разности, можно скомбинировать члены по-другому. Например, сгруппируем $y^2$ с частью свободного члена, а $-y$ с другой частью. Представим $10$ как $5+5$: $y^2 - y + 10 = y^2 + 5 - y + 5 = (y^2 + 5) - (y - 5)$.
Ответ: Сумма: $(y^2 - 2y) + (y + 10)$; разность: $(y^2 + 5) - (y - 5)$.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (674–676)

674 Известно, что $t-u=18$, $u-s=13$. Найдите $t-s$ и $s-t$.

t - s
Нам даны два уравнения:
1) $t - u = 18$
2) $u - s = 13$
Чтобы найти значение выражения $t - s$, мы можем сложить левые и правые части этих двух уравнений. При сложении переменная $u$ сократится.
Сложим уравнения:
$(t - u) + (u - s) = 18 + 13$
Раскроем скобки в левой части и упростим выражение:
$t - u + u - s = t - s$
Вычислим сумму в правой части:
$18 + 13 = 31$
Таким образом, мы получаем итоговое равенство:
$t - s = 31$
Ответ: 31

s - t
Мы уже нашли значение выражения $t - s$, оно равно 31.
$t - s = 31$
Выражение $s - t$ является противоположным по знаку выражению $t - s$. Мы можем получить его, вынеся знак минус за скобки:
$s - t = -(t - s)$
Теперь подставим известное значение $t - s$ в это равенство:
$s - t = -(31)$
$s - t = -31$
Ответ: -31

675 Выразите $a - c$ и $c - a$ через $x$ и $y$, если $x = a - b$, $y = b - c$.

a - c

По условию задачи нам даны два равенства: $x = a - b$ и $y = b - c$.
Чтобы найти выражение для $a - c$, мы можем сложить левые и правые части этих двух равенств. Это позволит нам исключить переменную $b$.
Складываем уравнения:
$x + y = (a - b) + (b - c)$
Теперь раскроем скобки в правой части выражения:
$x + y = a - b + b - c$
Слагаемые $-b$ и $b$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю, и они взаимно уничтожаются:
$x + y = a - c$
Таким образом, мы выразили разность $a - c$ через $x$ и $y$.
Ответ: $a - c = x + y$

c - a

Для того чтобы выразить разность $c - a$, мы можем использовать результат, полученный в предыдущем пункте: $a - c = x + y$.
Разность $c - a$ является противоположной разности $a - c$. Это значит, что $c - a = -(a - c)$.
Теперь подставим в это равенство выражение для $a - c$, которое мы нашли:
$c - a = -(x + y)$
Раскроем скобки, изменив знаки у $x$ и $y$ на противоположные:
$c - a = -x - y$
Ответ: $c - a = -x - y$

676 Представьте в виде суммы двух каких-либо двучленов:

a) $x - y;$

б) $x + y.$

а) Чтобы представить выражение $x - y$ в виде суммы двух двучленов, можно ввести дополнительный произвольный член (одночлен), а затем вычесть его, чтобы не изменить исходное выражение. Возьмем в качестве такого одночлена, например, $z$.

Добавим и вычтем $z$ из нашего выражения:

$x - y = x - y + z - z$

Теперь сгруппируем получившиеся четыре члена в два двучлена. Это можно сделать разными способами. Например, сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым:

$x - y = (x + z) + (-y - z)$

Мы получили сумму двух двучленов: $(x + z)$ и $(-y - z)$. Проверим правильность, раскрыв скобки:

$(x + z) + (-y - z) = x + z - y - z = x - y$

Результат совпадает с исходным выражением. Так как $z$ может быть любым числом или переменной, существует бесконечное множество решений. Например, если бы мы выбрали $z=5$, решение выглядело бы так: $(x + 5) + (-y - 5)$.

Ответ: $(x + z) + (-y - z)$.

б) Для представления выражения $x + y$ в виде суммы двух двучленов применим тот же метод. Возьмем произвольный одночлен $z$, добавим его и вычтем.

$x + y = x + y + z - z$

Теперь сгруппируем члены в два двучлена. Например, так:

$x + y = (x + z) + (y - z)$

В данном случае мы получили сумму двух двучленов $(x + z)$ и $(y - z)$. Выполним проверку:

$(x + z) + (y - z) = x + z + y - z = x + y$

Результат верен. Это одно из множества возможных решений.

Ответ: $(x + z) + (y - z)$.

677 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что если $a + b + c = 0$, то $abc-(a+b-c)-(b+c-a)-(c+a-b)=abc.$

Доказываем

Для доказательства тождества $abc - (a + b - c) - (b + c - a) - (c + a - b) = abc$ при условии $a + b + c = 0$, преобразуем его левую часть.

Из условия $a + b + c = 0$ следует, что сумму любых двух переменных можно выразить через третью:
$a + b = -c$
$b + c = -a$
$c + a = -b$

Теперь подставим эти выражения в скобки в левой части равенства:
$a + b - c = (-c) - c = -2c$
$b + c - a = (-a) - a = -2a$
$c + a - b = (-b) - b = -2b$

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$abc - (a + b - c) - (b + c - a) - (c + a - b) = abc - (-2c) - (-2a) - (-2b)$

Раскроем скобки и упростим:
$abc + 2c + 2a + 2b = abc + 2(a + b + c)$

Так как по условию $a + b + c = 0$, то получаем:
$abc + 2(0) = abc$

Мы получили, что левая часть равенства равна правой: $abc = abc$. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

678 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) сумму двузначного числа $\overline{ab}$ с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке;

б) разность трёхзначного числа $\overline{abc}$ и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке;

в) сумму всех трёхзначных чисел, которые могут быть записаны цифрами $a, b$ и $c$ так, чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз.

а)

Двузначное число $ \overline{ab} $, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц, можно представить в виде многочлена $ 10a + b $. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, — это $ \overline{ba} $, которое представляется как $ 10b + a $.

Сумма этих двух чисел равна:

$ (10a + b) + (10b + a) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить многочлен стандартного вида:

$ 10a + b + 10b + a = (10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b $

Ответ: $11a + 11b$

б)

Трёхзначное число $ \overline{abc} $, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно, можно представить в виде многочлена $ 100a + 10b + c $. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — это $ \overline{cba} $, которое представляется как $ 100c + 10b + a $.

Разность этих двух чисел равна:

$ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a + 0 - 99c = 99a - 99c $

Ответ: $99a - 99c$

в)

Из трёх различных цифр a, b и c можно составить 6 уникальных трёхзначных чисел (это все перестановки из трёх элементов): $ \overline{abc} $, $ \overline{acb} $, $ \overline{bac} $, $ \overline{bca} $, $ \overline{cab} $, $ \overline{cba} $. Чтобы найти их сумму, можно заметить, что каждая из цифр a, b и c будет стоять в разряде сотен, десятков и единиц одинаковое количество раз.

Всего 6 чисел. Каждая цифра будет на первом месте (в разряде сотен) в двух числах. Например, цифра a стоит в разряде сотен в числах $ \overline{abc} $ и $ \overline{acb} $. Аналогично, каждая цифра будет стоять в разряде десятков в двух числах и в разряде единиц в двух числах.

Поэтому вклад каждой цифры в общую сумму будет следующим:

Вклад цифры a: $ a \cdot (100 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = a \cdot (200 + 20 + 2) = 222a $

Вклад цифры b: $ b \cdot (100 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = b \cdot (200 + 20 + 2) = 222b $

Вклад цифры c: $ c \cdot (100 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = c \cdot (200 + 20 + 2) = 222c $

Сложив вклады всех трёх цифр, мы получим искомую сумму в виде многочлена стандартного вида:

$ 222a + 222b + 222c $

Ответ: $222a + 222b + 222c$

679 а) Докажите, что сумма двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

б) Докажите, что разность двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

а)

Пусть дано двузначное число, которое можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Так как число двузначное, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ – любой цифрой от 0 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10b + a$. В условии сказано "сумма двузначных чисел", это означает, что оба числа являются двузначными. Следовательно, ни $a$, ни $b$ не могут быть равны нулю ($a, b \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Найдем сумму этих двух чисел:

$S = (10a + b) + (10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$S = 10a + a + b + 10b = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$S = 11(a + b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их сумма $(a + b)$ также является целым числом. Выражение $11(a + b)$ представляет собой произведение числа 11 на целое число, а это означает, что результат всегда делится на 11 нацело.

Например, для чисел 38 и 83 их сумма равна $38 + 83 = 121$. Число 121 делится на 11, так как $121 = 11 \times 11$.

Ответ: Сумма чисел имеет вид $11(a+b)$, и так как один из множителей равен 11, то вся сумма делится на 11, что и требовалось доказать.

б)

Как и в предыдущем пункте, представим два двузначных числа в виде $10a + b$ и $10b + a$. Цифры $a$ и $b$ не равны нулю.

Найдем разность этих двух чисел. Для определенности будем вычитать из большего числа меньшее, хотя для свойства делимости это не имеет значения. Пусть $a > b$.

$D = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$D = 9(a - b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их разность $(a - b)$ также является целым числом. Выражение $9(a - b)$ представляет собой произведение числа 9 на целое число, а это означает, что результат всегда делится на 9 нацело. Если бы мы вычитали в другом порядке, результат был бы $9(b-a)$, что также делится на 9.

Например, для чисел 72 и 27 их разность равна $72 - 27 = 45$. Число 45 делится на 9, так как $45 = 9 \times 5$.

Ответ: Разность чисел имеет вид $9(a-b)$, и так как один из множителей равен 9, то вся разность делится на 9, что и требовалось доказать.

680 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 1) Маша и её брат вкладывали в банк деньги, получаемые ими в подарок от родственников на Новый год. Они имеют на счетах следующие суммы:

Маша: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$;

брат: $500x^2 + 600x + 700$.

1) «Расшифруйте» каждый многочлен.

Подсказка. Посмотрите задачу 653.

2) Сколько денег у них вместе на банковских счетах?

3) Сколько процентов в год начисляет банк, если $x = 1,12$? На чьём счёте в этом случае денег больше и на сколько? (Воспользуйтесь калькулятором.)

1) В данных многочленах переменная $x$ представляет собой годовой коэффициент роста вклада, который равен $1 + r$, где $r$ – годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби. Степени переменной $x$ ($x^3, x^2, x$) показывают, сколько лет на соответствующую сумму начислялись проценты. Коэффициенты при степенях $x$ – это суммы, которые вносились на счет в разные годы.

Расшифровка счета Маши: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$.
Это означает, что:
• 3 года назад Маша положила на счет 300 денежных единиц (на них 3 года начислялись проценты).
• 2 года назад она добавила 500 денежных единиц.
• 1 год назад она добавила 200 денежных единиц.
• В этом году она положила 700 денежных единиц (проценты на них еще не начислялись).

Расшифровка счета брата: $500x^2 + 600x + 700$.
Это означает, что:
• 2 года назад брат положил на счет 500 денежных единиц.
• 1 год назад он добавил 600 денежных единиц.
• В этом году он положил 700 денежных единиц.

Ответ: Многочлены представляют собой общую сумму на счетах Маши и брата, состоящую из вкладов, сделанных в разные годы, с учетом начисленных на них сложных процентов. Коэффициенты — это суммы вкладов, а показатель степени переменной $x$ — количество лет, в течение которых на вклад начислялись проценты.

2) Чтобы найти, сколько денег у них вместе, нужно сложить многочлены, представляющие суммы на их счетах.
Сумма на счете Маши: $M(x) = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$.
Сумма на счете брата: $B(x) = 500x^2 + 600x + 700$.
Общая сумма: $S(x) = M(x) + B(x) = (300x^3 + 500x^2 + 200x + 700) + (500x^2 + 600x + 700)$.
Сложим подобные члены:
$S(x) = 300x^3 + (500x^2 + 500x^2) + (200x + 600x) + (700 + 700)$.
$S(x) = 300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$.

Ответ: Вместе на банковских счетах у них сумма, выраженная многочленом $300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$.

3) Сначала найдем годовую процентную ставку. Нам дано, что $x = 1,12$. Так как $x = 1 + r$, где $r$ - процентная ставка в виде десятичной дроби, то:
$r = x - 1 = 1,12 - 1 = 0,12$.
Чтобы выразить ставку в процентах, умножим $r$ на 100: $0,12 \cdot 100\% = 12\%$.
Банк начисляет 12% годовых.

Теперь вычислим, сколько денег на каждом счете, подставив $x = 1,12$ в соответствующие многочлены.
Сумма на счете Маши:
$M(1,12) = 300(1,12)^3 + 500(1,12)^2 + 200(1,12) + 700$
$M(1,12) = 300(1,404928) + 500(1,2544) + 224 + 700$
$M(1,12) = 421,4784 + 627,2 + 224 + 700 = 1972,6784$.

Сумма на счете брата:
$B(1,12) = 500(1,12)^2 + 600(1,12) + 700$
$B(1,12) = 500(1,2544) + 672 + 700$
$B(1,12) = 627,2 + 672 + 700 = 1999,2$.

Сравним суммы: $1999,2 > 1972,6784$. На счете брата денег больше.
Найдем разницу: $1999,2 - 1972,6784 = 26,5216$.

Ответ: Банк начисляет 12% в год. Денег больше на счёте брата на 26,5216 денежных единиц.