Номер 677, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 677, страница 196.

677 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что если $a + b + c = 0$, то $abc-(a+b-c)-(b+c-a)-(c+a-b)=abc.$

Доказываем

Для доказательства тождества $abc - (a + b - c) - (b + c - a) - (c + a - b) = abc$ при условии $a + b + c = 0$, преобразуем его левую часть.

Из условия $a + b + c = 0$ следует, что сумму любых двух переменных можно выразить через третью:
$a + b = -c$
$b + c = -a$
$c + a = -b$

Теперь подставим эти выражения в скобки в левой части равенства:
$a + b - c = (-c) - c = -2c$
$b + c - a = (-a) - a = -2a$
$c + a - b = (-b) - b = -2b$

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$abc - (a + b - c) - (b + c - a) - (c + a - b) = abc - (-2c) - (-2a) - (-2b)$

Раскроем скобки и упростим:
$abc + 2c + 2a + 2b = abc + 2(a + b + c)$

Так как по условию $a + b + c = 0$, то получаем:
$abc + 2(0) = abc$

Мы получили, что левая часть равенства равна правой: $abc = abc$. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.