Номер 678, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 678, страница 196.

678 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) сумму двузначного числа $\overline{ab}$ с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке;

б) разность трёхзначного числа $\overline{abc}$ и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке;

в) сумму всех трёхзначных чисел, которые могут быть записаны цифрами $a, b$ и $c$ так, чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз.

а)

Двузначное число $ \overline{ab} $, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц, можно представить в виде многочлена $ 10a + b $. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, — это $ \overline{ba} $, которое представляется как $ 10b + a $.

Сумма этих двух чисел равна:

$ (10a + b) + (10b + a) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить многочлен стандартного вида:

$ 10a + b + 10b + a = (10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b $

Ответ: $11a + 11b$

б)

Трёхзначное число $ \overline{abc} $, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно, можно представить в виде многочлена $ 100a + 10b + c $. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — это $ \overline{cba} $, которое представляется как $ 100c + 10b + a $.

Разность этих двух чисел равна:

$ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a + 0 - 99c = 99a - 99c $

Ответ: $99a - 99c$

в)

Из трёх различных цифр a, b и c можно составить 6 уникальных трёхзначных чисел (это все перестановки из трёх элементов): $ \overline{abc} $, $ \overline{acb} $, $ \overline{bac} $, $ \overline{bca} $, $ \overline{cab} $, $ \overline{cba} $. Чтобы найти их сумму, можно заметить, что каждая из цифр a, b и c будет стоять в разряде сотен, десятков и единиц одинаковое количество раз.

Всего 6 чисел. Каждая цифра будет на первом месте (в разряде сотен) в двух числах. Например, цифра a стоит в разряде сотен в числах $ \overline{abc} $ и $ \overline{acb} $. Аналогично, каждая цифра будет стоять в разряде десятков в двух числах и в разряде единиц в двух числах.

Поэтому вклад каждой цифры в общую сумму будет следующим:

Вклад цифры a: $ a \cdot (100 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = a \cdot (200 + 20 + 2) = 222a $

Вклад цифры b: $ b \cdot (100 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = b \cdot (200 + 20 + 2) = 222b $

Вклад цифры c: $ c \cdot (100 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = c \cdot (200 + 20 + 2) = 222c $

Сложив вклады всех трёх цифр, мы получим искомую сумму в виде многочлена стандартного вида:

$ 222a + 222b + 222c $

Ответ: $222a + 222b + 222c$