Номер 683, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 683, страница 198.

683 Выполните умножение:

а) $a(3a^2 + a);$

б) $b(2b^3 - 7);$

в) $-p^2(3q - 2p);$

г) $(6k^2 - a)(-2k);$

д) $4m^3(n - 5m);$

е) $-2y^2(y^3 - 1);$

ж) $-5p^2(2p^4 - 3);$

з) $(b - 2ac) \cdot 5ab;$

и) $x^5(-x^3 - x^2).$

а) Чтобы выполнить умножение одночлена $a$ на многочлен $(3a^2 + a)$, необходимо умножить $a$ на каждый член в скобках и сложить результаты, используя распределительное свойство умножения: $a(3a^2 + a) = a \cdot 3a^2 + a \cdot a$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$a \cdot 3a^2 = 3a^{1+2} = 3a^3$
$a \cdot a = a^{1+1} = a^2$
Следовательно, итоговое выражение: $3a^3 + a^2$.
Ответ: $3a^3 + a^2$

б) Умножим одночлен $b$ на каждый член многочлена $(2b^3 - 7)$:
$b(2b^3 - 7) = b \cdot 2b^3 - b \cdot 7$
$b \cdot 2b^3 = 2b^{1+3} = 2b^4$
$b \cdot 7 = 7b$
Результат умножения: $2b^4 - 7b$.
Ответ: $2b^4 - 7b$

в) Умножим одночлен $-p^2$ на многочлен $(3q - 2p)$:
$-p^2(3q - 2p) = (-p^2) \cdot 3q + (-p^2) \cdot (-2p)$
$(-p^2) \cdot 3q = -3p^2q$
$(-p^2) \cdot (-2p) = 2p^{2+1} = 2p^3$
Сложив результаты, получаем: $-3p^2q + 2p^3$.
Ответ: $-3p^2q + 2p^3$

г) Для умножения $(6k^2 - a)(-2k)$ умножим каждый член многочлена на одночлен $(-2k)$:
$(6k^2 - a)(-2k) = 6k^2 \cdot (-2k) - a \cdot (-2k)$
$6k^2 \cdot (-2k) = -12k^{2+1} = -12k^3$
$-a \cdot (-2k) = 2ak$
Итоговое выражение: $-12k^3 + 2ak$.
Ответ: $-12k^3 + 2ak$

д) Умножим одночлен $4m^3$ на многочлен $(n - 5m)$:
$4m^3(n - 5m) = 4m^3 \cdot n - 4m^3 \cdot 5m$
$4m^3 \cdot n = 4m^3n$
$4m^3 \cdot 5m = 20m^{3+1} = 20m^4$
Результат: $4m^3n - 20m^4$.
Ответ: $4m^3n - 20m^4$

е) Умножим одночлен $-2y^2$ на многочлен $(y^3 - 1)$:
$-2y^2(y^3 - 1) = (-2y^2) \cdot y^3 - (-2y^2) \cdot 1$
$(-2y^2) \cdot y^3 = -2y^{2+3} = -2y^5$
$-(-2y^2) \cdot 1 = 2y^2$
Результат: $-2y^5 + 2y^2$.
Ответ: $-2y^5 + 2y^2$

ж) Умножим одночлен $-5p^2$ на многочлен $(2p^4 - 3)$:
$-5p^2(2p^4 - 3) = (-5p^2) \cdot 2p^4 - (-5p^2) \cdot 3$
$(-5p^2) \cdot 2p^4 = -10p^{2+4} = -10p^6$
$-(-5p^2) \cdot 3 = 15p^2$
Результат: $-10p^6 + 15p^2$.
Ответ: $-10p^6 + 15p^2$

з) Умножим многочлен $(b - 2ac)$ на одночлен $5ab$:
$(b - 2ac) \cdot 5ab = b \cdot 5ab - 2ac \cdot 5ab$
$b \cdot 5ab = 5ab^{1+1} = 5ab^2$
$-2ac \cdot 5ab = -10a^{1+1}bc = -10a^2bc$
Результат: $5ab^2 - 10a^2bc$.
Ответ: $5ab^2 - 10a^2bc$

и) Умножим одночлен $x^5$ на многочлен $(-x^3 - x^2)$:
$x^5(-x^3 - x^2) = x^5 \cdot (-x^3) + x^5 \cdot (-x^2)$
$x^5 \cdot (-x^3) = -x^{5+3} = -x^8$
$x^5 \cdot (-x^2) = -x^{5+2} = -x^7$
Результат: $-x^8 - x^7$.
Ответ: $-x^8 - x^7$