Номер 679, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 679, страница 196.

679 а) Докажите, что сумма двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

б) Докажите, что разность двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

а)

Пусть дано двузначное число, которое можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Так как число двузначное, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ – любой цифрой от 0 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10b + a$. В условии сказано "сумма двузначных чисел", это означает, что оба числа являются двузначными. Следовательно, ни $a$, ни $b$ не могут быть равны нулю ($a, b \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Найдем сумму этих двух чисел:

$S = (10a + b) + (10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$S = 10a + a + b + 10b = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$S = 11(a + b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их сумма $(a + b)$ также является целым числом. Выражение $11(a + b)$ представляет собой произведение числа 11 на целое число, а это означает, что результат всегда делится на 11 нацело.

Например, для чисел 38 и 83 их сумма равна $38 + 83 = 121$. Число 121 делится на 11, так как $121 = 11 \times 11$.

Ответ: Сумма чисел имеет вид $11(a+b)$, и так как один из множителей равен 11, то вся сумма делится на 11, что и требовалось доказать.

б)

Как и в предыдущем пункте, представим два двузначных числа в виде $10a + b$ и $10b + a$. Цифры $a$ и $b$ не равны нулю.

Найдем разность этих двух чисел. Для определенности будем вычитать из большего числа меньшее, хотя для свойства делимости это не имеет значения. Пусть $a > b$.

$D = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$D = 9(a - b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их разность $(a - b)$ также является целым числом. Выражение $9(a - b)$ представляет собой произведение числа 9 на целое число, а это означает, что результат всегда делится на 9 нацело. Если бы мы вычитали в другом порядке, результат был бы $9(b-a)$, что также делится на 9.

Например, для чисел 72 и 27 их разность равна $72 - 27 = 45$. Число 45 делится на 9, так как $45 = 9 \times 5$.

Ответ: Разность чисел имеет вид $9(a-b)$, и так как один из множителей равен 9, то вся разность делится на 9, что и требовалось доказать.