Номер 680, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 680, страница 196.

680 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 1) Маша и её брат вкладывали в банк деньги, получаемые ими в подарок от родственников на Новый год. Они имеют на счетах следующие суммы:

Маша: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$;

брат: $500x^2 + 600x + 700$.

1) «Расшифруйте» каждый многочлен.

Подсказка. Посмотрите задачу 653.

2) Сколько денег у них вместе на банковских счетах?

3) Сколько процентов в год начисляет банк, если $x = 1,12$? На чьём счёте в этом случае денег больше и на сколько? (Воспользуйтесь калькулятором.)

1) В данных многочленах переменная $x$ представляет собой годовой коэффициент роста вклада, который равен $1 + r$, где $r$ – годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби. Степени переменной $x$ ($x^3, x^2, x$) показывают, сколько лет на соответствующую сумму начислялись проценты. Коэффициенты при степенях $x$ – это суммы, которые вносились на счет в разные годы.

Расшифровка счета Маши: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$.
Это означает, что:
• 3 года назад Маша положила на счет 300 денежных единиц (на них 3 года начислялись проценты).
• 2 года назад она добавила 500 денежных единиц.
• 1 год назад она добавила 200 денежных единиц.
• В этом году она положила 700 денежных единиц (проценты на них еще не начислялись).

Расшифровка счета брата: $500x^2 + 600x + 700$.
Это означает, что:
• 2 года назад брат положил на счет 500 денежных единиц.
• 1 год назад он добавил 600 денежных единиц.
• В этом году он положил 700 денежных единиц.

Ответ: Многочлены представляют собой общую сумму на счетах Маши и брата, состоящую из вкладов, сделанных в разные годы, с учетом начисленных на них сложных процентов. Коэффициенты — это суммы вкладов, а показатель степени переменной $x$ — количество лет, в течение которых на вклад начислялись проценты.

2) Чтобы найти, сколько денег у них вместе, нужно сложить многочлены, представляющие суммы на их счетах.
Сумма на счете Маши: $M(x) = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$.
Сумма на счете брата: $B(x) = 500x^2 + 600x + 700$.
Общая сумма: $S(x) = M(x) + B(x) = (300x^3 + 500x^2 + 200x + 700) + (500x^2 + 600x + 700)$.
Сложим подобные члены:
$S(x) = 300x^3 + (500x^2 + 500x^2) + (200x + 600x) + (700 + 700)$.
$S(x) = 300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$.

Ответ: Вместе на банковских счетах у них сумма, выраженная многочленом $300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$.

3) Сначала найдем годовую процентную ставку. Нам дано, что $x = 1,12$. Так как $x = 1 + r$, где $r$ - процентная ставка в виде десятичной дроби, то:
$r = x - 1 = 1,12 - 1 = 0,12$.
Чтобы выразить ставку в процентах, умножим $r$ на 100: $0,12 \cdot 100\% = 12\%$.
Банк начисляет 12% годовых.

Теперь вычислим, сколько денег на каждом счете, подставив $x = 1,12$ в соответствующие многочлены.
Сумма на счете Маши:
$M(1,12) = 300(1,12)^3 + 500(1,12)^2 + 200(1,12) + 700$
$M(1,12) = 300(1,404928) + 500(1,2544) + 224 + 700$
$M(1,12) = 421,4784 + 627,2 + 224 + 700 = 1972,6784$.

Сумма на счете брата:
$B(1,12) = 500(1,12)^2 + 600(1,12) + 700$
$B(1,12) = 500(1,2544) + 672 + 700$
$B(1,12) = 627,2 + 672 + 700 = 1999,2$.

Сравним суммы: $1999,2 > 1972,6784$. На счете брата денег больше.
Найдем разницу: $1999,2 - 1972,6784 = 26,5216$.

Ответ: Банк начисляет 12% в год. Денег больше на счёте брата на 26,5216 денежных единиц.