Номер 685, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 685, страница 198.

685 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Иногда удобно вести запись умножения в столбик:

$ -5a^2 $

x

$ 3a^3 - a + 4 $

$ -15a^5 + 5a^3 - 20a^2 $

Умножьте одночлен на многочлен:

а) $ 3n^4(n^2 + 2n - 4) $;

б) $ -2m^3(3m - 2m^2 + m^3) $;

в) $ 5xy^2(2x - x^2y - x^3) $.

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. В данном случае умножаем одночлен $3n^4$ на многочлен $(n^2 + 2n - 4)$.

Выполним умножение по шагам, применяя распределительное свойство:

$3n^4(n^2 + 2n - 4) = 3n^4 \cdot n^2 + 3n^4 \cdot 2n + 3n^4 \cdot (-4)$

Теперь вычислим каждое произведение отдельно:

1. $3n^4 \cdot n^2 = 3n^{4+2} = 3n^6$

2. $3n^4 \cdot 2n = (3 \cdot 2)n^{4+1} = 6n^5$

3. $3n^4 \cdot (-4) = (3 \cdot -4)n^4 = -12n^4$

Сложим полученные результаты:

$3n^6 + 6n^5 - 12n^4$

Ответ: $3n^6 + 6n^5 - 12n^4$

б) Умножим одночлен $-2m^3$ на каждый член многочлена $(3m - 2m^2 + m^3)$.

$-2m^3(3m - 2m^2 + m^3) = (-2m^3) \cdot 3m + (-2m^3) \cdot (-2m^2) + (-2m^3) \cdot m^3$

Вычислим каждое произведение:

1. $(-2m^3) \cdot 3m = (-2 \cdot 3)m^{3+1} = -6m^4$

2. $(-2m^3) \cdot (-2m^2) = (-2 \cdot -2)m^{3+2} = 4m^5$

3. $(-2m^3) \cdot m^3 = -2m^{3+3} = -2m^6$

Сложим полученные одночлены и запишем итоговый многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней переменной $m$:

$-6m^4 + 4m^5 - 2m^6 = -2m^6 + 4m^5 - 6m^4$

Ответ: $-2m^6 + 4m^5 - 6m^4$

в) Умножим одночлен $5xy^2$ на каждый член многочлена $(2x - x^2y - x^3)$.

$5xy^2(2x - x^2y - x^3) = 5xy^2 \cdot 2x + 5xy^2 \cdot (-x^2y) + 5xy^2 \cdot (-x^3)$

Вычислим каждое произведение:

1. $5xy^2 \cdot 2x = (5 \cdot 2)(x \cdot x)y^2 = 10x^{1+1}y^2 = 10x^2y^2$

2. $5xy^2 \cdot (-x^2y) = (5 \cdot -1)(x \cdot x^2)(y^2 \cdot y) = -5x^{1+2}y^{2+1} = -5x^3y^3$

3. $5xy^2 \cdot (-x^3) = (5 \cdot -1)(x \cdot x^3)y^2 = -5x^{1+3}y^2 = -5x^4y^2$

Сложим полученные одночлены. Для удобства можно расположить члены итогового многочлена по убыванию степени переменной $x$:

$10x^2y^2 - 5x^3y^3 - 5x^4y^2 = -5x^4y^2 - 5x^3y^3 + 10x^2y^2$

Ответ: $-5x^4y^2 - 5x^3y^3 + 10x^2y^2$