Страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

717 Решите уравнение:

а) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5);$

б) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2.$

а) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$

Для решения данного уравнения необходимо раскрыть скобки в обеих его частях. Начнем с левой части:

$x(x + 1)(x - 10) = x(x^2 - 10x + x - 10) = x(x^2 - 9x - 10) = x^3 - 9x^2 - 10x$.

Теперь раскроем скобки в правой части:

$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = (x^2 - 3x - x + 3)(x - 5) = (x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x(x^2 - 4x + 3) - 5(x^2 - 4x + 3) = x^3 - 4x^2 + 3x - 5x^2 + 20x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$x^3 - 9x^2 - 10x = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

Как видим, члены $x^3$ и $-9x^2$ присутствуют в обеих частях уравнения. Сократим их:

$-10x = 23x - 15$.

Перенесем все члены, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 = 23x + 10x$.

$15 = 33x$.

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{15}{33}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{5}{11}$.

Ответ: $x = \frac{5}{11}$.

б) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Начнем с левой части:

$(x - 1)(x - 4)(x + 7) = (x^2 - 4x - x + 4)(x + 7) = (x^2 - 5x + 4)(x + 7)$.

$(x^2 - 5x + 4)(x + 7) = x(x^2 - 5x + 4) + 7(x^2 - 5x + 4) = x^3 - 5x^2 + 4x + 7x^2 - 35x + 28 = x^3 + 2x^2 - 31x + 28$.

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$.

Приравняем левую и правую части:

$x^3 + 2x^2 - 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x$.

Сократим одинаковые члены $x^3$ и $2x^2$ в обеих частях уравнения:

$-31x + 28 = x$.

Перенесем все члены с $x$ в правую часть:

$28 = x + 31x$.

$28 = 32x$.

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{32}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4:

$x = \frac{7}{8}$.

Ответ: $x = \frac{7}{8}$.

ДОКАЗЫВАЕМ (716–719)

718 Докажите, что:

а) $(a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+c) + ac + bc;$

б) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc$, преобразуем его правую часть.

Рассмотрим правую часть равенства:
$(a + b)(a + b + c) + ac + bc$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $c$:
$(a + b)(a + b + c) + c(a + b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который можно вынести за скобки:
$(a + b) \cdot ((a + b + c) + c)$

Упростим выражение во вторых скобках:
$(a + b)(a + b + 2c)$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$, раскроем скобки в правой части.

Для этого умножим каждый член из первой скобки $(a+b+c)$ на весь многочлен во второй скобке $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$:
$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:
$a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c$
$b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc$
$c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2$

Теперь сложим все полученные выражения:
$(a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc) + (a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Многие из них взаимно уничтожаются:
$a^3 + b^3 + c^3 + (ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-a^2b + a^2b) + (-a^2c + a^2c) + (bc^2 - bc^2) + (-b^2c + b^2c) - abc - abc - abc$

После сокращения получаем:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

Результат преобразования правой части совпал с левой частью, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

719 Докажите, что если $ac + bc + ac = 0$, то $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для того чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Левая часть равенства (ЛЧ):

ЛЧ = $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b)$

Раскроем последовательно каждую пару скобок:

Первое слагаемое: $(a - b)(a - c) = a^2 - ac - ab + bc$

Второе слагаемое: $(b - c)(b - a) = b^2 - ab - bc + ac$

Третье слагаемое: $(c - a)(c - b) = c^2 - cb - ac + ab = c^2 - bc - ac + ab$

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ = $(a^2 - ac - ab + bc) + (b^2 - ab - bc + ac) + (c^2 - bc - ac + ab)$

Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы упростить выражение:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 + (-ab - ab + ab) + (bc - bc - bc) + (-ac + ac - ac)$

Приведем подобные:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$

Согласно условию задачи, мы знаем, что $ab + bc + ac = 0$. Подставим это значение в полученное нами выражение:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - (0)$

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2$

Мы видим, что преобразованная левая часть равенства совпадает с его правой частью ($a^2 + b^2 + c^2$). Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Путем алгебраических преобразований левой части выражения $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b)$ было получено выражение $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$. С учетом условия $ab + bc + ac = 0$, левая часть становится равной $a^2 + b^2 + c^2$, что и требовалось доказать.

720 Упростите выражение:

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3);$

б) $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. а: $x^2 - 3x = y.$

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом замены переменной. В каждой из скобок присутствует общее выражение $x^2 - 3x$.

Сделаем замену: пусть $y = x^2 - 3x$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$(y + 1)(y + 5) - (y + 2)(y - 3)$

Теперь раскроем скобки в каждом произведении:

$(y + 1)(y + 5) = y^2 + 5y + y + 5 = y^2 + 6y + 5$

$(y + 2)(y - 3) = y^2 - 3y + 2y - 6 = y^2 - y - 6$

Подставим полученные многочлены обратно в выражение и выполним вычитание:

$(y^2 + 6y + 5) - (y^2 - y - 6) = y^2 + 6y + 5 - y^2 + y + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (6y + y) + (5 + 6) = 7y + 11$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ его первоначальное выражение $x^2 - 3x$:

$7(x^2 - 3x) + 11 = 7x^2 - 21x + 11$

Ответ: $7x^2 - 21x + 11$

б) $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1)$

Для упрощения этого выражения сначала перемножим первые две скобки в уменьшаемом и в вычитаемом.

Произведение первых двух скобок в уменьшаемом:

$(n - 1)(n - 6) = n^2 - 6n - n + 6 = n^2 - 7n + 6$

Произведение первых двух скобок в вычитаемом:

$(n - 3)(n - 4) = n^2 - 4n - 3n + 12 = n^2 - 7n + 12$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(n^2 - 7n + 6)(n^2 - 7n - 3) - (n^2 - 7n + 12)(n^2 - 7n + 1)$

Заметим, что в обеих частях выражения есть общий многочлен $n^2 - 7n$. Сделаем замену:

Пусть $y = n^2 - 7n$. Тогда выражение примет вид:

$(y + 6)(y - 3) - (y + 12)(y + 1)$

Раскроем скобки:

$(y + 6)(y - 3) = y^2 - 3y + 6y - 18 = y^2 + 3y - 18$

$(y + 12)(y + 1) = y^2 + y + 12y + 12 = y^2 + 13y + 12$

Выполним вычитание:

$(y^2 + 3y - 18) - (y^2 + 13y + 12) = y^2 + 3y - 18 - y^2 - 13y - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (3y - 13y) + (-18 - 12) = -10y - 30$

Выполним обратную замену, подставив $y = n^2 - 7n$:

$-10(n^2 - 7n) - 30 = -10n^2 + 70n - 30$

Ответ: $-10n^2 + 70n - 30$

721 Решите уравнение:

a) $5(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) + 12 = 7(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) - 4;$

б) $1 - 2(\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 5) = 14 + (\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 6);$

в) $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3);$

г) $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. a: $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = y;$

выполнив соответствующую подстановку, решите уравнение.

а) $5\left(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7\right)+12 = 7\left(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7\right)-4$
В этом уравнении повторяется выражение $\left(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7\right)$. Чтобы упростить решение, введем новую переменную.
Пусть $y = \frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7$.
Подставим $y$ в исходное уравнение:
$5y + 12 = 7y - 4$
Теперь решим это простое линейное уравнение относительно $y$. Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$12 + 4 = 7y - 5y$
$16 = 2y$
$y = \frac{16}{2} = 8$
Мы нашли значение $y$. Теперь сделаем обратную подстановку, чтобы найти $x$:
$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7 = 8$
Вычтем 7 из обеих частей:
$\frac{x}{3}+\frac{x}{6} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2x}{6}+\frac{x}{6} = 1$
$\frac{3x}{6} = 1$
Сократим дробь:
$\frac{x}{2} = 1$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

б) $1 - 2\left(\frac{x}{5}-\frac{x}{3}-5\right) = 14 + \left(\frac{x}{5}-\frac{x}{3}-6\right)$
Здесь также можно использовать метод замены. Выражения в скобках похожи. Обозначим общую часть новой переменной.
Пусть $y = \frac{x}{5}-\frac{x}{3}$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$1 - 2(y - 5) = 14 + (y - 6)$
Раскроем скобки:
$1 - 2y + 10 = 14 + y - 6$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$11 - 2y = 8 + y$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:
$11 - 8 = y + 2y$
$3 = 3y$
$y = 1$
Теперь выполним обратную замену:
$\frac{x}{5}-\frac{x}{3} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{3x}{15}-\frac{5x}{15} = 1$
$\frac{3x - 5x}{15} = 1$
$\frac{-2x}{15} = 1$
Умножим обе части на 15:
$-2x = 15$
$x = -\frac{15}{2} = -7.5$
Ответ: $x=-7.5$.

в) $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3)$
В этом уравнении повторяется выражение $2(5x + 1) - 3$. Сделаем замену.
Пусть $y = 2(5x + 1) - 3$.
Подставим $y$ в уравнение:
$7y - 15 = 4y$
Решим уравнение относительно $y$:
$7y - 4y = 15$
$3y = 15$
$y = 5$
Сделаем обратную подстановку:
$2(5x + 1) - 3 = 5$
$2(5x + 1) = 5 + 3$
$2(5x + 1) = 8$
Разделим обе части на 2:
$5x + 1 = 4$
$5x = 4 - 1$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5} = 0.6$
Ответ: $x=0.6$.

г) $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6)$
Здесь также удобно применить метод замены. Общая часть — это $3(2x - 1)$.
Пусть $y = 3(2x - 1)$.
Подставим $y$ в уравнение:
$4(y + 7) - 4 = 3(y + 6)$
Раскроем скобки:
$4y + 28 - 4 = 3y + 18$
Приведем подобные слагаемые:
$4y + 24 = 3y + 18$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$4y - 3y = 18 - 24$
$y = -6$
Выполним обратную замену:
$3(2x - 1) = -6$
Разделим обе части на 3:
$2x - 1 = -2$
$2x = -2 + 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$
Ответ: $x=-0.5$.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (722–724)

722 Дано выражение $(4m - 2n)(m - n)$. Укажите выражения, противоположные данному; равные данному:

$(2n - 4m)(m - n)$;

$-(2n - 4m)(m - n)$;

$(2n - 4m)(n - m)$;

$(4m - 2n)(n - m)$;

$(4m + 2n)(m + n)$;

$(4m - 2n)(m + n)$;

$-(4m - 2n)(m - n)$;

$-(4m - 2n)(n - m)$.

Для анализа предложенных выражений будем использовать основное свойство: $(a - b) = -(b - a)$. Пусть исходное выражение $A = (4m - 2n)(m - n)$.

противоположные данному

Противоположным выражением является выражение $-A = -(4m - 2n)(m - n)$. Найдем такие выражения в списке.

1. Рассмотрим выражение $(2n - 4m)(m - n)$.

   Вынесем знак минус из первого множителя: $2n - 4m = -(4m - 2n)$.

   Тогда $(2n - 4m)(m - n) = -(4m - 2n)(m - n)$. Это выражение противоположно данному.

2. Рассмотрим выражение $(4m - 2n)(n - m)$.

   Вынесем знак минус из второго множителя: $n - m = -(m - n)$.

   Тогда $(4m - 2n)(n - m) = (4m - 2n) \cdot (-(m - n)) = -(4m - 2n)(m - n)$. Это выражение противоположно данному.

3. Рассмотрим выражение $-(4m - 2n)(m - n)$.

   По определению, это выражение является противоположным данному.

Ответ: $(2n - 4m)(m - n)$, $(4m - 2n)(n - m)$, $-(4m - 2n)(m - n)$.

равные данному

Равным выражением является выражение $A = (4m - 2n)(m - n)$. Найдем такие выражения в списке.

1. Рассмотрим выражение $-(2n - 4m)(m - n)$.

   Вынесем знак минус из первого множителя в скобках: $2n - 4m = -(4m - 2n)$.

   Тогда $-(2n - 4m)(m - n) = -(-(4m - 2n))(m - n) = (4m - 2n)(m - n)$. Это выражение равно данному.

2. Рассмотрим выражение $(2n - 4m)(n - m)$.

   Вынесем знак минус из каждого множителя: $2n - 4m = -(4m - 2n)$ и $n - m = -(m - n)$.

   Тогда $(2n - 4m)(n - m) = (-(4m - 2n)) \cdot (-(m - n)) = (4m - 2n)(m - n)$. Это выражение равно данному.

3. Рассмотрим выражение $-(4m - 2n)(n - m)$.

   Вынесем знак минус из второго множителя в скобках: $n - m = -(m - n)$.

   Тогда $-(4m - 2n)(n - m) = -(4m - 2n)(-(m - n)) = -(-(4m - 2n)(m - n)) = (4m - 2n)(m - n)$. Это выражение равно данному.

Выражения $(4m + 2n)(m + n)$ и $(4m - 2n)(m + n)$ не являются ни равными, ни противоположными данному, так как содержат другие знаки внутри скобок, что приводит к иному результату при их раскрытии.

Ответ: $-(2n - 4m)(m - n)$, $(2n - 4m)(n - m)$, $-(4m - 2n)(n - m)$.

723 Выпишите выражения, равные произведению

$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5):$

$(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$; $(n-1)(2-n)(n-3)(4-n)(n-5)$;

$(1-n)(2-n)(3-n)(4-n)(5-n)$; $(1-n)(2-n)(n-3)(4-n)(5-n)$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны исходному произведению $(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$, воспользуемся свойством $a - b = -(b - a)$. Это означает, что если в произведении изменить знак у четного числа множителей, то значение всего произведения не изменится. Если же изменить знак у нечетного числа множителей, то знак всего произведения изменится на противоположный.

(1 - n)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)
В этом выражении по сравнению с исходным изменен только первый множитель: $(1 - n) = -(n - 1)$. Остальные четыре множителя остались без изменений. Так как знак изменен у одного (нечетного числа) множителя, то все произведение меняет знак:
$(1 - n)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = -(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение не равно исходному.

(n - 1)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(n - 5)
Здесь изменены два множителя: $(2 - n) = -(n - 2)$ и $(4 - n) = -(n - 4)$. Поскольку знаки изменены у двух (четного числа) множителей, произведение знаков дает плюс: $(-1) \cdot (-1) = 1$. Таким образом, значение всего выражения не меняется.
$(n - 1)(-(n - 2))(n - 3)(-(n - 4))(n - 5) = (-1)^2 (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение равно исходному.

(1 - n)(2 - n)(3 - n)(4 - n)(5 - n)
В данном случае изменены все пять множителей:
$(1 - n) = -(n - 1)$
$(2 - n) = -(n - 2)$
$(3 - n) = -(n - 3)$
$(4 - n) = -(n - 4)$
$(5 - n) = -(n - 5)$
Так как знаки изменены у пяти (нечетного числа) множителей, итоговый знак произведения будет отрицательным: $(-1)^5 = -1$.
$(-(n - 1))(-(n - 2))(-(n - 3))(-(n - 4))(-(n - 5)) = (-1)^5 (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = -(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение не равно исходному.

(1 - n)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(5 - n)
В этом выражении изменены четыре множителя: $(1 - n)$, $(2 - n)$, $(4 - n)$ и $(5 - n)$. Множитель $(n - 3)$ остался без изменений.
Поскольку знаки изменены у четырех (четного числа) множителей, итоговый знак произведения будет положительным: $(-1)^4 = 1$.
$(-(n - 1))(-(n - 2))(n - 3)(-(n - 4))(-(n - 5)) = (-1)^4 (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение равно исходному.

724 Представьте каждое произведение в виде многочлена:

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$; $(x-1)(x-2)(x-3)(4-x)$;

$(1-x)(x-2)(x-3)(4-x)$; $-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Для представления данного произведения в виде многочлена, будем перемножать скобки попарно. Для удобства вычислений сгруппируем множители следующим образом:

$((x - 1)(x - 4)) \cdot ((x - 2)(x - 3))$

Перемножим первую пару скобок:

$(x - 1)(x - 4) = x \cdot x - 4 \cdot x - 1 \cdot x - 1 \cdot (-4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$

Перемножим вторую пару скобок:

$(x - 2)(x - 3) = x \cdot x - 3 \cdot x - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$

Чтобы упростить дальнейшее умножение, сделаем замену. Пусть $y = x^2 - 5x$. Тогда выражение примет вид:

$(y + 4)(y + 6)$

Раскроем скобки:

$(y + 4)(y + 6) = y^2 + 6y + 4y + 24 = y^2 + 10y + 24$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 5x$ вместо $y$:

$(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 + 10x^2 - 50x + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$

$x^4 - 10x^3 + (25 + 10)x^2 - 50x + 24 = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(4 - x)

Заметим, что множитель $(4 - x)$ можно представить как $-(x - 4)$.

Тогда все произведение можно записать так:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(-(x - 4)) = -(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Это выражение является противоположным первому разобранному примеру. Поэтому его результат будет равен результату первого примера, взятому со знаком минус.

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

(1 - x)(x - 2)(x - 3)(4 - x)

Преобразуем первый и последний множители, вынеся за скобки $-1$:

$(1 - x) = -(x - 1)$

$(4 - x) = -(x - 4)$

Подставим эти выражения в исходное произведение:

$(-(x - 1))(x - 2)(x - 3)(-(x - 4))$

Произведение двух отрицательных знаков дает положительный знак: $(-1) \cdot (-1) = 1$. Таким образом, выражение становится идентичным первому примеру:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Следовательно, результат будет таким же, как и в первом примере.

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

-(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Это выражение представляет собой произведение из первого примера, взятое со знаком минус. Мы уже получили такой результат при решении второго примера.

Результат будет равен многочлену из первого примера с противоположными знаками у всех его членов.

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$