Номер 717, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 717, страница 204.

717 Решите уравнение:

а) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5);$

б) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2.$

а) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$

Для решения данного уравнения необходимо раскрыть скобки в обеих его частях. Начнем с левой части:

$x(x + 1)(x - 10) = x(x^2 - 10x + x - 10) = x(x^2 - 9x - 10) = x^3 - 9x^2 - 10x$.

Теперь раскроем скобки в правой части:

$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = (x^2 - 3x - x + 3)(x - 5) = (x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x(x^2 - 4x + 3) - 5(x^2 - 4x + 3) = x^3 - 4x^2 + 3x - 5x^2 + 20x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$x^3 - 9x^2 - 10x = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

Как видим, члены $x^3$ и $-9x^2$ присутствуют в обеих частях уравнения. Сократим их:

$-10x = 23x - 15$.

Перенесем все члены, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 = 23x + 10x$.

$15 = 33x$.

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{15}{33}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{5}{11}$.

Ответ: $x = \frac{5}{11}$.

б) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Начнем с левой части:

$(x - 1)(x - 4)(x + 7) = (x^2 - 4x - x + 4)(x + 7) = (x^2 - 5x + 4)(x + 7)$.

$(x^2 - 5x + 4)(x + 7) = x(x^2 - 5x + 4) + 7(x^2 - 5x + 4) = x^3 - 5x^2 + 4x + 7x^2 - 35x + 28 = x^3 + 2x^2 - 31x + 28$.

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$.

Приравняем левую и правую части:

$x^3 + 2x^2 - 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x$.

Сократим одинаковые члены $x^3$ и $2x^2$ в обеих частях уравнения:

$-31x + 28 = x$.

Перенесем все члены с $x$ в правую часть:

$28 = x + 31x$.

$28 = 32x$.

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{32}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4:

$x = \frac{7}{8}$.

Ответ: $x = \frac{7}{8}$.