Номер 712, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 712, страница 203.

712 Упростите выражение:

а) $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1);$

б) $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y);$

в) $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1);$

г) $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d).$

а) $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1)$

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки, выполнив умножение многочленов, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(n + 1)(2n - 3) = n \cdot 2n + n \cdot (-3) + 1 \cdot 2n + 1 \cdot (-3) = 2n^2 - 3n + 2n - 3 = 2n^2 - n - 3$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(n - 1)(3n + 1) = n \cdot 3n + n \cdot 1 - 1 \cdot 3n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + n - 3n - 1 = 3n^2 - 2n - 1$

3. Сложим полученные выражения:

$(2n^2 - n - 3) + (3n^2 - 2n - 1) = 2n^2 - n - 3 + 3n^2 - 2n - 1$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(2n^2 + 3n^2) + (-n - 2n) + (-3 - 1) = 5n^2 - 3n - 4$

Ответ: $5n^2 - 3n - 4$

---

б) $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y)$

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(x - y)(2x - 3y) = x \cdot 2x + x \cdot (-3y) - y \cdot 2x - y \cdot (-3y) = 2x^2 - 3xy - 2xy + 3y^2 = 2x^2 - 5xy + 3y^2$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(3x - y)(2x + y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot y - y \cdot 2x - y \cdot y = 6x^2 + 3xy - 2xy - y^2 = 6x^2 + xy - y^2$

3. Вычтем второе выражение из первого, обращая внимание на знак минус перед скобкой:

$(2x^2 - 5xy + 3y^2) - (6x^2 + xy - y^2) = 2x^2 - 5xy + 3y^2 - 6x^2 - xy + y^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 6x^2) + (-5xy - xy) + (3y^2 + y^2) = -4x^2 - 6xy + 4y^2$

Ответ: $-4x^2 - 6xy + 4y^2$

---

в) $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы и разностью квадратов.

1. Первое слагаемое представляет собой квадрат суммы: $(2a + 3)(2a + 3) = (2a + 3)^2$.

Используем формулу $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:

$(2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$

2. Второе слагаемое представляет собой произведение суммы и разности: $(2a + 1)(2a - 1)$.

Используем формулу $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:

$(2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$

3. Вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(4a^2 + 12a + 9) - (4a^2 - 1) = 4a^2 + 12a + 9 - 4a^2 + 1$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + 12a + (9 + 1) = 12a + 10$

Ответ: $12a + 10$

---

г) $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d)$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. В первом слагаемом поменяем местами члены во второй скобке: $(3c - d)(3c + d)$. Теперь это формула разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$:

$(3c)^2 - d^2 = 9c^2 - d^2$

2. Второе слагаемое раскроем, перемножив многочлены:

$(4c - d)(c - 4d) = 4c \cdot c + 4c \cdot (-4d) - d \cdot c - d \cdot (-4d) = 4c^2 - 16cd - cd + 4d^2 = 4c^2 - 17cd + 4d^2$

3. Сложим полученные выражения:

$(9c^2 - d^2) + (4c^2 - 17cd + 4d^2) = 9c^2 - d^2 + 4c^2 - 17cd + 4d^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(9c^2 + 4c^2) - 17cd + (-d^2 + 4d^2) = 13c^2 - 17cd + 3d^2$

Ответ: $13c^2 - 17cd + 3d^2$