Номер 714, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 714, страница 203.

714. МОДЕЛИРУЕМ Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника (рис. 7.5) и запишите соответствующее равенство. Докажите это равенство алгебраически.

Одно выражение для площади всего прямоугольника: $(b+d)a$

Второе выражение для площади прямоугольника, как суммы площадей его частей: $c \cdot c + (b+d-c)c + b(a-c) + d(a-c)$

Запишем соответствующее равенство: $(b+d)a = c \cdot c + (b+d-c)c + b(a-c) + d(a-c)$

Докажем это равенство алгебраически.

Раскроем правую часть равенства: $c^2 + bc + dc - c^2 + ba - bc + da - dc$

Сгруппируем и сократим члены: $(c^2 - c^2) + (bc - bc) + (dc - dc) + ba + da$

$0 + 0 + 0 + ba + da$

$ba + da$

Вынесем общий множитель $a$: $(b+d)a$

Таким образом, левая часть $(b+d)a$ равна правой части $(b+d)a$, что доказывает равенство.

Рис. 7.5

Составление двух выражений для вычисления площади

Для нахождения площади большого прямоугольника, изображенного на рисунке, можно использовать два различных подхода.

1. Вычисление площади через общие размеры прямоугольника.
Сначала определим общую длину и ширину большого прямоугольника.
Его общая ширина складывается из длин отрезков $b$ и $d$, то есть она равна $b+d$.
Его общая высота складывается из длин отрезков $a$ и $c$, то есть она равна $a+c$.
Из рисунка видно, что вертикальная линия, разделяющая прямоугольники I и II, а также III и IV, является прямой. Это означает, что ширина прямоугольника I равна ширине прямоугольника III, а ширина прямоугольника II равна ширине прямоугольника IV. На схеме ширина прямоугольника I обозначена как $c$, а ширина прямоугольника III — как $b$. Следовательно, мы можем сделать вывод, что $b = c$.
Тогда общая высота прямоугольника, равная $a+c$, может быть записана как $a+b$.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, первое выражение для площади $S$ имеет вид:
$S = (b+d)(a+b)$

2. Вычисление площади как суммы площадей его частей.
Большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника: I, II, III и IV. Его общая площадь равна сумме площадей этих четырех частей.

• Площадь прямоугольника I: стороны $c$ и $c$. Учитывая, что $b=c$, его площадь $S_I = b \cdot b = b^2$.
• Площадь прямоугольника II: стороны $d$ и $c$. Его площадь $S_{II} = d \cdot c = db$.
• Площадь прямоугольника III: стороны $b$ и $a$. Его площадь $S_{III} = b \cdot a = ab$.
• Площадь прямоугольника IV: стороны $d$ и $a$. Его площадь $S_{IV} = d \cdot a = ad$.

Суммируя площади всех частей, получаем второе выражение для общей площади $S$:
$S = S_I + S_{II} + S_{III} + S_{IV} = b^2 + db + ab + ad$.
Для стандартного вида можно переставить слагаемые: $S = ab + ad + b^2 + bd$.

Ответ: Два выражения для вычисления площади прямоугольника: $S = (b+d)(a+b)$ и $S = ab + ad + b^2 + bd$.

Запись соответствующего равенства

Поскольку оба выражения, полученные выше, описывают площадь одной и той же фигуры, они равны друг другу. Запишем это в виде равенства.

Ответ: $(b+d)(a+b) = ab + ad + b^2 + bd$.

Алгебраическое доказательство равенства

Для доказательства равенства необходимо показать, что его левая и правая части тождественно равны. Для этого преобразуем левую часть, раскрыв скобки по правилу умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго).
Левая часть: $(b+d)(a+b)$.
$(b+d)(a+b) = b \cdot (a+b) + d \cdot (a+b)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$b \cdot a + b \cdot b + d \cdot a + d \cdot b = ba + b^2 + da + db$
Используя переместительный закон умножения ($xy = yx$), приведем выражение к виду правой части равенства:
$ab + b^2 + ad + bd$
Переставим слагаемые для полного соответствия с правой частью исходного равенства:
$ab + ad + b^2 + bd$
Таким образом, мы получили, что левая часть равенства $(b+d)(a+b)$ после преобразований стала идентична правой части $ab + ad + b^2 + bd$. Равенство доказано.

Ответ: Преобразование левой части равенства $(b+d)(a+b)$ путем раскрытия скобок приводит к выражению $ab + ad + b^2 + bd$, что полностью совпадает с правой частью. Следовательно, равенство является верным.