Номер 721, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 721, страница 204.

721 Решите уравнение:

a) $5(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) + 12 = 7(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) - 4;$

б) $1 - 2(\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 5) = 14 + (\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 6);$

в) $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3);$

г) $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. a: $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = y;$

выполнив соответствующую подстановку, решите уравнение.

а) $5\left(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7\right)+12 = 7\left(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7\right)-4$
В этом уравнении повторяется выражение $\left(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7\right)$. Чтобы упростить решение, введем новую переменную.
Пусть $y = \frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7$.
Подставим $y$ в исходное уравнение:
$5y + 12 = 7y - 4$
Теперь решим это простое линейное уравнение относительно $y$. Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$12 + 4 = 7y - 5y$
$16 = 2y$
$y = \frac{16}{2} = 8$
Мы нашли значение $y$. Теперь сделаем обратную подстановку, чтобы найти $x$:
$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+7 = 8$
Вычтем 7 из обеих частей:
$\frac{x}{3}+\frac{x}{6} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2x}{6}+\frac{x}{6} = 1$
$\frac{3x}{6} = 1$
Сократим дробь:
$\frac{x}{2} = 1$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

б) $1 - 2\left(\frac{x}{5}-\frac{x}{3}-5\right) = 14 + \left(\frac{x}{5}-\frac{x}{3}-6\right)$
Здесь также можно использовать метод замены. Выражения в скобках похожи. Обозначим общую часть новой переменной.
Пусть $y = \frac{x}{5}-\frac{x}{3}$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$1 - 2(y - 5) = 14 + (y - 6)$
Раскроем скобки:
$1 - 2y + 10 = 14 + y - 6$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$11 - 2y = 8 + y$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:
$11 - 8 = y + 2y$
$3 = 3y$
$y = 1$
Теперь выполним обратную замену:
$\frac{x}{5}-\frac{x}{3} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{3x}{15}-\frac{5x}{15} = 1$
$\frac{3x - 5x}{15} = 1$
$\frac{-2x}{15} = 1$
Умножим обе части на 15:
$-2x = 15$
$x = -\frac{15}{2} = -7.5$
Ответ: $x=-7.5$.

в) $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3)$
В этом уравнении повторяется выражение $2(5x + 1) - 3$. Сделаем замену.
Пусть $y = 2(5x + 1) - 3$.
Подставим $y$ в уравнение:
$7y - 15 = 4y$
Решим уравнение относительно $y$:
$7y - 4y = 15$
$3y = 15$
$y = 5$
Сделаем обратную подстановку:
$2(5x + 1) - 3 = 5$
$2(5x + 1) = 5 + 3$
$2(5x + 1) = 8$
Разделим обе части на 2:
$5x + 1 = 4$
$5x = 4 - 1$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5} = 0.6$
Ответ: $x=0.6$.

г) $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6)$
Здесь также удобно применить метод замены. Общая часть — это $3(2x - 1)$.
Пусть $y = 3(2x - 1)$.
Подставим $y$ в уравнение:
$4(y + 7) - 4 = 3(y + 6)$
Раскроем скобки:
$4y + 28 - 4 = 3y + 18$
Приведем подобные слагаемые:
$4y + 24 = 3y + 18$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$4y - 3y = 18 - 24$
$y = -6$
Выполним обратную замену:
$3(2x - 1) = -6$
Разделим обе части на 3:
$2x - 1 = -2$
$2x = -2 + 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$
Ответ: $x=-0.5$.