Номер 724, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 724, страница 204.

724 Представьте каждое произведение в виде многочлена:

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$; $(x-1)(x-2)(x-3)(4-x)$;

$(1-x)(x-2)(x-3)(4-x)$; $-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Для представления данного произведения в виде многочлена, будем перемножать скобки попарно. Для удобства вычислений сгруппируем множители следующим образом:

$((x - 1)(x - 4)) \cdot ((x - 2)(x - 3))$

Перемножим первую пару скобок:

$(x - 1)(x - 4) = x \cdot x - 4 \cdot x - 1 \cdot x - 1 \cdot (-4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$

Перемножим вторую пару скобок:

$(x - 2)(x - 3) = x \cdot x - 3 \cdot x - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$

Чтобы упростить дальнейшее умножение, сделаем замену. Пусть $y = x^2 - 5x$. Тогда выражение примет вид:

$(y + 4)(y + 6)$

Раскроем скобки:

$(y + 4)(y + 6) = y^2 + 6y + 4y + 24 = y^2 + 10y + 24$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 5x$ вместо $y$:

$(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 + 10x^2 - 50x + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$

$x^4 - 10x^3 + (25 + 10)x^2 - 50x + 24 = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(4 - x)

Заметим, что множитель $(4 - x)$ можно представить как $-(x - 4)$.

Тогда все произведение можно записать так:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(-(x - 4)) = -(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Это выражение является противоположным первому разобранному примеру. Поэтому его результат будет равен результату первого примера, взятому со знаком минус.

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

(1 - x)(x - 2)(x - 3)(4 - x)

Преобразуем первый и последний множители, вынеся за скобки $-1$:

$(1 - x) = -(x - 1)$

$(4 - x) = -(x - 4)$

Подставим эти выражения в исходное произведение:

$(-(x - 1))(x - 2)(x - 3)(-(x - 4))$

Произведение двух отрицательных знаков дает положительный знак: $(-1) \cdot (-1) = 1$. Таким образом, выражение становится идентичным первому примеру:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Следовательно, результат будет таким же, как и в первом примере.

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

-(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Это выражение представляет собой произведение из первого примера, взятое со знаком минус. Мы уже получили такой результат при решении второго примера.

Результат будет равен многочлену из первого примера с противоположными знаками у всех его членов.

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$