Номер 723, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 723, страница 204.

723 Выпишите выражения, равные произведению

$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5):$

$(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$; $(n-1)(2-n)(n-3)(4-n)(n-5)$;

$(1-n)(2-n)(3-n)(4-n)(5-n)$; $(1-n)(2-n)(n-3)(4-n)(5-n)$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны исходному произведению $(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$, воспользуемся свойством $a - b = -(b - a)$. Это означает, что если в произведении изменить знак у четного числа множителей, то значение всего произведения не изменится. Если же изменить знак у нечетного числа множителей, то знак всего произведения изменится на противоположный.

(1 - n)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)
В этом выражении по сравнению с исходным изменен только первый множитель: $(1 - n) = -(n - 1)$. Остальные четыре множителя остались без изменений. Так как знак изменен у одного (нечетного числа) множителя, то все произведение меняет знак:
$(1 - n)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = -(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение не равно исходному.

(n - 1)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(n - 5)
Здесь изменены два множителя: $(2 - n) = -(n - 2)$ и $(4 - n) = -(n - 4)$. Поскольку знаки изменены у двух (четного числа) множителей, произведение знаков дает плюс: $(-1) \cdot (-1) = 1$. Таким образом, значение всего выражения не меняется.
$(n - 1)(-(n - 2))(n - 3)(-(n - 4))(n - 5) = (-1)^2 (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение равно исходному.

(1 - n)(2 - n)(3 - n)(4 - n)(5 - n)
В данном случае изменены все пять множителей:
$(1 - n) = -(n - 1)$
$(2 - n) = -(n - 2)$
$(3 - n) = -(n - 3)$
$(4 - n) = -(n - 4)$
$(5 - n) = -(n - 5)$
Так как знаки изменены у пяти (нечетного числа) множителей, итоговый знак произведения будет отрицательным: $(-1)^5 = -1$.
$(-(n - 1))(-(n - 2))(-(n - 3))(-(n - 4))(-(n - 5)) = (-1)^5 (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = -(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение не равно исходному.

(1 - n)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(5 - n)
В этом выражении изменены четыре множителя: $(1 - n)$, $(2 - n)$, $(4 - n)$ и $(5 - n)$. Множитель $(n - 3)$ остался без изменений.
Поскольку знаки изменены у четырех (четного числа) множителей, итоговый знак произведения будет положительным: $(-1)^4 = 1$.
$(-(n - 1))(-(n - 2))(n - 3)(-(n - 4))(-(n - 5)) = (-1)^4 (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5) = (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$.
Ответ: выражение равно исходному.