Номер 716, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 716, страница 203.

716 Представьте в виде многочлена:

а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5);$

б) $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3);$

в) $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1);$

г) $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1).$

а) Чтобы представить выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ в виде многочлена, будем выполнять умножение по шагам. Сначала перемножим первые две скобки:

$(x - 1)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.

Теперь умножим полученный многочлен $(x^2 - 4x + 3)$ на оставшуюся скобку $(x - 5)$:

$(x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x^2 \cdot (x - 5) - 4x \cdot (x - 5) + 3 \cdot (x - 5) = x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-5x^2 - 4x^2) + (20x + 3x) - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

Ответ: $x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

б) Чтобы представить выражение $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3)$ в виде многочлена, раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом, а затем приведем подобные слагаемые.

Преобразуем первое слагаемое $x(x - 1)(x - 2)$:

$x((x - 1)(x - 2)) = x(x^2 - 2x - x + 2) = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.

Преобразуем второе слагаемое $-x^2(x - 3)$:

$-x^2(x - 3) = -x^3 + 3x^2$.

Теперь выполним вычитание и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - 3x^2 + 2x) + (-x^3 + 3x^2) = (x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + 2x = 0 + 0 + 2x = 2x$.

Ответ: $2x$.

в) Выражение $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1)$ является примером формулы разности степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})$.

В данном случае $a = y$, $b = 1$ и $n = 5$. Таким образом, произведение равно $y^5 - 1^5 = y^5 - 1$.

Проверим это, выполнив почленное умножение:

$(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) - 1(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1)$

$= (y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y) - (y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y - y^4 - y^3 - y^2 - y - 1$.

После приведения подобных слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$y^5 + (y^4 - y^4) + (y^3 - y^3) + (y^2 - y^2) + (y - y) - 1 = y^5 - 1$.

Ответ: $y^5 - 1$.

г) Выражение $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1)$ является примером формулы суммы нечетных степеней $a^{k} + b^{k} = (a + b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$ при нечетном $k$.

В данном случае $a = n$, $b = 1$ и степень $k = 5$. Таким образом, произведение равно $n^5 + 1^5 = n^5 + 1$.

Проверим это, выполнив почленное умножение:

$(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) + 1(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1)$

$= (n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n) + (n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n + n^4 - n^3 + n^2 - n + 1$.

После приведения подобных слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$n^5 + (-n^4 + n^4) + (n^3 - n^3) + (-n^2 + n^2) + (n - n) + 1 = n^5 + 1$.

Ответ: $n^5 + 1$.