Номер 720, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 720, страница 204.

720 Упростите выражение:

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3);$

б) $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. а: $x^2 - 3x = y.$

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом замены переменной. В каждой из скобок присутствует общее выражение $x^2 - 3x$.

Сделаем замену: пусть $y = x^2 - 3x$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$(y + 1)(y + 5) - (y + 2)(y - 3)$

Теперь раскроем скобки в каждом произведении:

$(y + 1)(y + 5) = y^2 + 5y + y + 5 = y^2 + 6y + 5$

$(y + 2)(y - 3) = y^2 - 3y + 2y - 6 = y^2 - y - 6$

Подставим полученные многочлены обратно в выражение и выполним вычитание:

$(y^2 + 6y + 5) - (y^2 - y - 6) = y^2 + 6y + 5 - y^2 + y + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (6y + y) + (5 + 6) = 7y + 11$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ его первоначальное выражение $x^2 - 3x$:

$7(x^2 - 3x) + 11 = 7x^2 - 21x + 11$

Ответ: $7x^2 - 21x + 11$

б) $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1)$

Для упрощения этого выражения сначала перемножим первые две скобки в уменьшаемом и в вычитаемом.

Произведение первых двух скобок в уменьшаемом:

$(n - 1)(n - 6) = n^2 - 6n - n + 6 = n^2 - 7n + 6$

Произведение первых двух скобок в вычитаемом:

$(n - 3)(n - 4) = n^2 - 4n - 3n + 12 = n^2 - 7n + 12$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(n^2 - 7n + 6)(n^2 - 7n - 3) - (n^2 - 7n + 12)(n^2 - 7n + 1)$

Заметим, что в обеих частях выражения есть общий многочлен $n^2 - 7n$. Сделаем замену:

Пусть $y = n^2 - 7n$. Тогда выражение примет вид:

$(y + 6)(y - 3) - (y + 12)(y + 1)$

Раскроем скобки:

$(y + 6)(y - 3) = y^2 - 3y + 6y - 18 = y^2 + 3y - 18$

$(y + 12)(y + 1) = y^2 + y + 12y + 12 = y^2 + 13y + 12$

Выполним вычитание:

$(y^2 + 3y - 18) - (y^2 + 13y + 12) = y^2 + 3y - 18 - y^2 - 13y - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (3y - 13y) + (-18 - 12) = -10y - 30$

Выполним обратную замену, подставив $y = n^2 - 7n$:

$-10(n^2 - 7n) - 30 = -10n^2 + 70n - 30$

Ответ: $-10n^2 + 70n - 30$