Номер 709, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 709, страница 203.

709 Представьте в виде многочлена:

а) $(y - 1)(y^2 + 2y - 1);$

б) $(z^2 + 3z + 2)(z - 5);$

в) $(a + b)(a^2 - ab + b^2);$

г) $(x^2 - xy + y^2)(x - y).$

а) Чтобы представить произведение в виде многочлена, необходимо каждый член первого множителя умножить на каждый член второго множителя и сложить полученные произведения.

$(y - 1)(y^2 + 2y - 1) = y \cdot (y^2 + 2y - 1) - 1 \cdot (y^2 + 2y - 1) =$

$= (y \cdot y^2 + y \cdot 2y - y \cdot 1) - (1 \cdot y^2 + 1 \cdot 2y - 1 \cdot 1) =$

$= (y^3 + 2y^2 - y) - (y^2 + 2y - 1) = y^3 + 2y^2 - y - y^2 - 2y + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$y^3 + (2y^2 - y^2) + (-y - 2y) + 1 = y^3 + y^2 - 3y + 1$

Ответ: $y^3 + y^2 - 3y + 1$

б) Умножим многочлен $(z^2 + 3z + 2)$ на двучлен $(z - 5)$ по тому же правилу.

$(z^2 + 3z + 2)(z - 5) = z^2 \cdot (z - 5) + 3z \cdot (z - 5) + 2 \cdot (z - 5) =$

$= (z^3 - 5z^2) + (3z^2 - 15z) + (2z - 10) =$

$= z^3 - 5z^2 + 3z^2 - 15z + 2z - 10$

Приводим подобные слагаемые:

$z^3 + (-5z^2 + 3z^2) + (-15z + 2z) - 10 = z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

Ответ: $z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

в) Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно "сумма кубов".

Формула суммы кубов имеет вид: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Следовательно, результат умножения сразу известен.

Можно также проверить это, раскрыв скобки:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) =$

$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Приводим подобные слагаемые:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

Ответ: $a^3 + b^3$

г) Умножим многочлены $(x^2 - xy + y^2)(x - y)$. Для удобства можно поменять множители местами.

$(x - y)(x^2 - xy + y^2) = x \cdot (x^2 - xy + y^2) - y \cdot (x^2 - xy + y^2) =$

$= (x^3 - x^2y + xy^2) - (x^2y - xy^2 + y^3) =$

$= x^3 - x^2y + xy^2 - x^2y + xy^2 - y^3$

Приводим подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (xy^2 + xy^2) - y^3 = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$