Номер 708, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 708, страница 203.

708 МОДЕЛИРУЕМ С помощью рисунка 7.4 проиллюстрируйте равенство $(a+b+c)(d+e)=ad+bd+cd+ae+be+ce$. Докажите это равенство с помощью преобразований.

Математическая формула: $$(a+b+c)(d+e)=ad+bd+cd+ae+be+ce$$

Представление на рисунке: прямоугольник разделен на 6 меньших прямоугольников. По горизонтали он разделен на три части длинами $a$, $b$ и $c$. По вертикали он разделен на две части высотами $d$ и $e$. Области обозначены римскими цифрами: Верхний ряд: I (площадь $ad$), II (площадь $bd$), III (площадь $cd$). Нижний ряд: IV (площадь $ae$), V (площадь $be$), VI (площадь $ce$).

Рис. 7.4

Иллюстрация равенства с помощью рисунка

На рисунке 7.4 изображен большой прямоугольник. Его стороны равны $(a + b + c)$ и $(d + e)$. Площадь этого прямоугольника, вычисленная как произведение его сторон, равна $S_{общ} = (a + b + c)(d + e)$. Это выражение соответствует левой части доказываемого равенства.

Этот же прямоугольник разделен на шесть меньших прямоугольников (I, II, III, IV, V, VI). Общая площадь также может быть найдена как сумма площадей этих шести прямоугольников. Вычислим площадь каждого из них:
Площадь прямоугольника I: $S_I = a \cdot d = ad$.
Площадь прямоугольника II: $S_{II} = b \cdot d = bd$.
Площадь прямоугольника III: $S_{III} = c \cdot d = cd$.
Площадь прямоугольника IV: $S_{IV} = a \cdot e = ae$.
Площадь прямоугольника V: $S_V = b \cdot e = be$.
Площадь прямоугольника VI: $S_{VI} = c \cdot e = ce$.

Сумма площадей этих шести прямоугольников равна $S_{сумма} = S_I + S_{II} + S_{III} + S_{IV} + S_V + S_{VI} = ad + bd + cd + ae + be + ce$. Это выражение соответствует правой части доказываемого равенства.

Так как площадь большого прямоугольника, вычисленная двумя способами ($S_{общ}$ и $S_{сумма}$), должна быть одинаковой, мы можем приравнять полученные выражения: $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$. Таким образом, рисунок геометрически иллюстрирует данное равенство.

Ответ: Площадь большого прямоугольника можно найти двумя способами: как произведение его сторон $(a + b + c)(d + e)$ и как сумму площадей шести составляющих его прямоугольников $ad + bd + cd + ae + be + ce$. Приравнивая эти два выражения, мы получаем требуемое равенство.

Доказательство равенства с помощью преобразований

Для доказательства равенства $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$ воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Раскроем скобки в левой части равенства. Сначала умножим сумму $(a + b + c)$ на $d$, а затем на $e$:
$(a + b + c)(d + e) = (a + b + c) \cdot d + (a + b + c) \cdot e$

Теперь применим распределительное свойство к каждому из полученных произведений:
$(a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d) + (a \cdot e + b \cdot e + c \cdot e)$

Раскрыв скобки, получаем:
$ad + bd + cd + ae + be + ce$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $(a + b + c)(d + e) = (a + b + c)d + (a + b + c)e = ad + bd + cd + ae + be + ce$.