Номер 706, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 706, страница 202.

706 Преобразуйте в многочлен:

а) $(x^2 + 1)(x^2 + 2);$

б) $(a^2 - 1)(a^3 - 1);$

в) $(3 + b^3)(b^3 - 4);$

г) $(2y^2 - 3)(y^2 + 2);$

д) $(a^2 - b^2)(a - b);$

е) $(m^2 + 3n)(m^2 - n);$

ж) $(a + 2n^2)(a^2 + n);$

з) $(x^2 - a)(x^2 + a);$

и) $(3 + c^3)(5 - c^2).$

а) Для преобразования произведения двух двучленов $(x^2 + 1)(x^2 + 2)$ в многочлен, мы умножаем каждый член первого двучлена на каждый член второго, раскрывая скобки:
$(x^2 + 1)(x^2 + 2) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 2 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot 2$
Выполним операции умножения:
$= x^4 + 2x^2 + x^2 + 2$
Далее, сгруппируем и сложим подобные слагаемые ($2x^2$ и $x^2$):
$= x^4 + (2+1)x^2 + 2 = x^4 + 3x^2 + 2$
Ответ: $x^4 + 3x^2 + 2$

б) Умножим двучлен $(a^2 - 1)$ на двучлен $(a^3 - 1)$, используя распределительный закон умножения (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(a^2 - 1)(a^3 - 1) = a^2 \cdot a^3 + a^2 \cdot (-1) - 1 \cdot a^3 - 1 \cdot (-1)$
Выполним умножение:
$= a^5 - a^2 - a^3 + 1$
Для стандартного вида многочлена, расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $a$ :
$= a^5 - a^3 - a^2 + 1$
Ответ: $a^5 - a^3 - a^2 + 1$

в) Преобразуем произведение $(3 + b^3)(b^3 - 4)$. Для удобства можно поменять слагаемые в первой скобке местами: $(b^3 + 3)(b^3 - 4)$.
Перемножим двучлены:
$(b^3 + 3)(b^3 - 4) = b^3 \cdot b^3 + b^3 \cdot (-4) + 3 \cdot b^3 + 3 \cdot (-4)$
$= b^6 - 4b^3 + 3b^3 - 12$
Приведем подобные члены ($-4b^3$ и $3b^3$):
$= b^6 + (-4+3)b^3 - 12 = b^6 - b^3 - 12$
Ответ: $b^6 - b^3 - 12$

г) Найдем произведение двучленов $(2y^2 - 3)$ и $(y^2 + 2)$.
$(2y^2 - 3)(y^2 + 2) = 2y^2 \cdot y^2 + 2y^2 \cdot 2 - 3 \cdot y^2 - 3 \cdot 2$
$= 2y^4 + 4y^2 - 3y^2 - 6$
Сложим подобные члены ($4y^2$ и $-3y^2$):
$= 2y^4 + (4-3)y^2 - 6 = 2y^4 + y^2 - 6$
Ответ: $2y^4 + y^2 - 6$

д) Преобразуем в многочлен выражение $(a^2 - b^2)(a - b)$.
$(a^2 - b^2)(a - b) = a^2 \cdot (a - b) - b^2 \cdot (a - b)$
$= a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-b) - b^2 \cdot a - b^2 \cdot (-b)$
$= a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$
В полученном многочлене нет подобных членов, поэтому это и есть окончательный ответ.
Ответ: $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$

е) Умножим двучлен $(m^2 + 3n)$ на $(m^2 - n)$.
$(m^2 + 3n)(m^2 - n) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot (-n) + 3n \cdot m^2 + 3n \cdot (-n)$
$= m^4 - m^2n + 3m^2n - 3n^2$
Приведем подобные члены ($-m^2n$ и $3m^2n$):
$= m^4 + (-1+3)m^2n - 3n^2 = m^4 + 2m^2n - 3n^2$
Ответ: $m^4 + 2m^2n - 3n^2$

ж) Преобразуем в многочлен произведение $(a + 2n^2)(a^2 + n)$.
$(a + 2n^2)(a^2 + n) = a \cdot a^2 + a \cdot n + 2n^2 \cdot a^2 + 2n^2 \cdot n$
$= a^3 + an + 2a^2n^2 + 2n^3$
Для стандартного вида, упорядочим члены по убыванию степеней переменной $a$:
$= a^3 + 2a^2n^2 + an + 2n^3$
Ответ: $a^3 + 2a^2n^2 + an + 2n^3$

з) Выражение $(x^2 - a)(x^2 + a)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его преобразования можно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(u - v)(u + v) = u^2 - v^2$.
В нашем случае $u = x^2$ и $v = a$.
$(x^2 - a)(x^2 + a) = (x^2)^2 - a^2 = x^4 - a^2$
Ответ: $x^4 - a^2$

и) Найдем произведение двучленов $(3 + c^3)$ и $(5 - c^2)$.
$(3 + c^3)(5 - c^2) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-c^2) + c^3 \cdot 5 + c^3 \cdot (-c^2)$
$= 15 - 3c^2 + 5c^3 - c^5$
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $c$:
$= -c^5 + 5c^3 - 3c^2 + 15$
Ответ: $-c^5 + 5c^3 - 3c^2 + 15$