Номер 729, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 729, страница 207.

729 Преобразуйте в многочлен:

а) $(x^2 + 3)^2$

б) $(a^2 - 2)^2$

в) $(1 - m^3)^2$

г) $(5 + c^3)^2$

д) $(2y^2 - 3x^2)^2$

е) $(x^2y^2 + 1)^2$

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а)

Для преобразования выражения $(x^2 + 3)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае, $a = x^2$ и $b = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(x^2 + 3)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = x^4 + 6x^2 + 9$.

Ответ: $x^4 + 6x^2 + 9$.

б)

Чтобы преобразовать выражение $(a^2 - 2)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности. Здесь $a = a^2$ и $b = 2$.

Применяем формулу:

$(a^2 - 2)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 = a^4 - 4a^2 + 4$.

Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4$.

в)

Преобразуем выражение $(1 - m^3)^2$ по формуле квадрата разности. В этом выражении $a = 1$ и $b = m^3$.

Подставляем в формулу:

$(1 - m^3)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot m^3 + (m^3)^2 = 1 - 2m^3 + m^6$.

Для удобства можно записать многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней: $m^6 - 2m^3 + 1$.

Ответ: $1 - 2m^3 + m^6$.

г)

Чтобы преобразовать $(5 + c^3)^2$, применяем формулу квадрата суммы. В данном случае $a = 5$ и $b = c^3$.

Выполняем преобразование:

$(5 + c^3)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot c^3 + (c^3)^2 = 25 + 10c^3 + c^6$.

В стандартном виде: $c^6 + 10c^3 + 25$.

Ответ: $25 + 10c^3 + c^6$.

д)

Для преобразования выражения $(2y^2 - 3x^2)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата разности. Здесь $a = 2y^2$ и $b = 3x^2$.

Подставляем значения в формулу:

$(2y^2 - 3x^2)^2 = (2y^2)^2 - 2 \cdot (2y^2) \cdot (3x^2) + (3x^2)^2$.

Выполняем вычисления:

$(2y^2)^2 = 4y^4$

$2 \cdot (2y^2) \cdot (3x^2) = 12x^2y^2$

$(3x^2)^2 = 9x^4$

Собираем многочлен: $4y^4 - 12x^2y^2 + 9x^4$.

Ответ: $4y^4 - 12x^2y^2 + 9x^4$.

е)

Преобразуем выражение $(x^2y^2 + 1)^2$, используя формулу квадрата суммы. В этом выражении $a = x^2y^2$ и $b = 1$.

Применяем формулу:

$(x^2y^2 + 1)^2 = (x^2y^2)^2 + 2 \cdot (x^2y^2) \cdot 1 + 1^2 = x^{2\cdot2}y^{2\cdot2} + 2x^2y^2 + 1 = x^4y^4 + 2x^2y^2 + 1$.

Ответ: $x^4y^4 + 2x^2y^2 + 1$.