Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

12 Выполните умножение $(2a + 3)(4a - 6)$.

Чтобы выполнить умножение многочленов $(2a + 3)(4a - 6)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и затем сложить полученные произведения. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Прямое раскрытие скобок

Применим распределительное свойство умножения (правило "фонтанчика" или FOIL):

$(2a + 3)(4a - 6) = 2a \cdot 4a + 2a \cdot (-6) + 3 \cdot 4a + 3 \cdot (-6)$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

$8a^2 - 12a + 12a - 18$

Теперь приведем подобные слагаемые. В данном случае это $-12a$ и $12a$:

$-12a + 12a = 0$

Таким образом, выражение упрощается до:

$8a^2 - 18$

Способ 2: Использование формул сокращенного умножения

Сначала заметим, что из второго множителя $(4a - 6)$ можно вынести общий множитель 2:

$4a - 6 = 2(2a - 3)$

Подставим это в исходное выражение:

$(2a + 3)(4a - 6) = (2a + 3) \cdot 2(2a - 3)$

Перегруппируем множители для удобства:

$2 \cdot (2a + 3)(2a - 3)$

Теперь мы видим, что выражение $(2a + 3)(2a - 3)$ является произведением суммы и разности двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x=2a$ и $y=3$.

Применим формулу:

$(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$

Теперь умножим полученный результат на 2, который мы вынесли ранее:

$2 \cdot (4a^2 - 9) = 2 \cdot 4a^2 - 2 \cdot 9 = 8a^2 - 18$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $8a^2 - 18$

13 Какое из выражений противоположно произведению $(a - b)(a - c)$?

1) $(b - a)(c - a)$

2) $-(a - b)(c - a)$

3) $(b - a)(a - c)$

4) $-(b - a)(a - c)$

Противоположным выражению $A$ называется выражение $-A$. Следовательно, нам нужно найти выражение, которое тождественно равно $-(a-b)(a-c)$.

Для преобразования выражений будем использовать свойство $x - y = -(y - x)$, которое означает, что при смене мест уменьшаемого и вычитаемого знак разности меняется на противоположный.

Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $(b-a)(c-a)$

В этом выражении мы можем вынести минус из каждой скобки:

$(b-a)(c-a) = (-(a-b)) \cdot (-(a-c)) = (-1) \cdot (a-b) \cdot (-1) \cdot (a-c)$

Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, получаем:

$(a-b)(a-c)$

Это выражение равно исходному, а не противоположно ему.

2) $-(a-b)(c-a)$

В этом выражении преобразуем вторую скобку $(c-a)$:

$-(a-b)(c-a) = -(a-b) \cdot (-(a-c)) = (-1) \cdot (a-b) \cdot (-1) \cdot (a-c)$

Снова получаем, что $(-1) \cdot (-1) = 1$:

$(a-b)(a-c)$

Это выражение также равно исходному.

3) $(b-a)(a-c)$

Здесь мы преобразуем первую скобку $(b-a)$:

$(b-a)(a-c) = (-(a-b)) \cdot (a-c) = - (a-b)(a-c)$

Это выражение является противоположным исходному произведению $(a-b)(a-c)$. Значит, это правильный ответ.

4) $-(b-a)(a-c)$

Преобразуем скобку $(b-a)$ и учтем минус перед всем выражением:

$-(b-a)(a-c) = - (-(a-b)) \cdot (a-c) = (-1) \cdot ((-1) \cdot (a-b)) \cdot (a-c)$

Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, получаем:

$(a-b)(a-c)$

Это выражение равно исходному.

Итак, единственное выражение, которое противоположно произведению $(a-b)(a-c)$, это $(b-a)(a-c)$.

Ответ: 3

14 Раскройте скобки в выражении $(2x - 5y)^2$.

1) $4x^2 - 25y^2$

2) $2x^2 - 10xy + 5y^2$

3) $4x^2 - 10xy + 25y^2$

4) $4x^2 - 20xy + 25y^2$

Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $(2x - 5y)^2$, необходимо использовать формулу сокращенного умножения, а именно формулу квадрата разности.

Формула квадрата разности выглядит следующим образом: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении $(2x - 5y)^2$ мы имеем:

• $a = 2x$
• $b = 5y$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$(2x - 5y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (5y) + (5y)^2$

Выполним вычисления для каждого члена выражения:

• Квадрат первого члена: $(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$.
• Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot (2x) \cdot (5y) = (2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot xy = 20xy$.
• Квадрат второго члена: $(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$.

Соединим полученные части в одно выражение:

$(2x - 5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2$

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он соответствует варианту под номером 4.

Ответ: $4x^2 - 20xy + 25y^2$

15. Упростите выражение $3(m-2)^2 + 12m.$

Для упрощения выражения $3(m - 2)^2 + 12m$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки $(m-2)^2$, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = m$ и $b = 2$.

$(m - 2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$

2. Подставить полученное выражение обратно в исходное:

$3(m^2 - 4m + 4) + 12m$

3. Раскрыть оставшиеся скобки, умножив множитель 3 на каждый член многочлена в скобках:

$3 \cdot m^2 - 3 \cdot 4m + 3 \cdot 4 + 12m = 3m^2 - 12m + 12 + 12m$

4. Привести подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются $-12m$ и $+12m$. Их сумма равна нулю:

$3m^2 + (-12m + 12m) + 12 = 3m^2 + 0 + 12 = 3m^2 + 12$

Ответ: $3m^2 + 12$

16 Даны выражения:

А) $(a-5)^2$

Б) $(5-a)^2$

В) $-(a-5)^2$

Г) $-(5-a)^2$

Какие из них равны произведению $(a-5)(5-a)$?

1) А и Б

2) А и В

3) Б и Г

4) В и Г

Чтобы найти, какие из предложенных выражений равны произведению $(a-5)(5-a)$, сперва упростим само произведение. Для этого вынесем знак минус за скобки во втором множителе:

$(5-a) = -1 \cdot (a-5) = -(a-5)$

Теперь подставим это обратно в произведение:

$(a-5)(5-a) = (a-5) \cdot (-(a-5)) = -(a-5)(a-5) = -(a-5)^2$

Итак, мы ищем выражения, которые тождественно равны $-(a-5)^2$. Теперь проанализируем каждое из данных выражений.

А) $(a-5)^2$

Выражение $(a-5)^2$ не равно выражению $-(a-5)^2$, за исключением случая, когда $a=5$. Поскольку равенство должно быть тождественным (верным для любого $a$), этот вариант не подходит.

Ответ: не равно.

Б) $(5-a)^2$

Воспользуемся свойством квадрата, согласно которому квадраты противоположных чисел равны: $(x)^2 = (-x)^2$. Таким образом:

$(5-a)^2 = (-(a-5))^2 = (a-5)^2$

Это выражение также не равно $-(a-5)^2$.

Ответ: не равно.

В) $-(a-5)^2$

Это выражение в точности совпадает с тем, которое мы получили при упрощении произведения $(a-5)(5-a)$.

Ответ: равно.

Г) $-(5-a)^2$

Как мы выяснили в пункте Б, $(5-a)^2 = (a-5)^2$. Следовательно, мы можем заменить $(5-a)^2$ на $(a-5)^2$:

$-(5-a)^2 = -(a-5)^2$

Это выражение также равно исходному произведению.

Ответ: равно.

Таким образом, произведению $(a-5)(5-a)$ равны выражения В и Г. Это соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

17 Упростите выражение $(1 + xy)^2 - (1 - xy)^2$.

1) $0$

2) $2xy + 2x^2y^2$

3) $2x^2y^2$

4) $4xy$

Для упрощения выражения $(1 + xy)^2 - (1 - xy)^2$ можно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов", которая выглядит следующим образом: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае, пусть $a = 1 + xy$ и $b = 1 - xy$.

Подставим эти значения в формулу:

$(1 + xy)^2 - (1 - xy)^2 = ((1 + xy) - (1 - xy)) \cdot ((1 + xy) + (1 - xy))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок.

Упростим первую скобку (разность):

$(1 + xy) - (1 - xy) = 1 + xy - 1 + xy = 2xy$

Упростим вторую скобку (сумма):

$(1 + xy) + (1 - xy) = 1 + xy + 1 - xy = 2$

Теперь осталось перемножить полученные результаты:

$2xy \cdot 2 = 4xy$

Таким образом, результат упрощения выражения - $4xy$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ под номером 4.

Ответ: $4xy$

18 Решите уравнение $2(x - 1) - 7 = 5x - 5.$

Для решения данного линейного уравнения $2(x - 1) - 7 = 5x - 5$ необходимо последовательно выполнить следующие шаги.

1. Раскрываем скобки в левой части уравнения. Для этого умножаем число 2 на каждый член, находящийся в скобках:

$2 \cdot x - 2 \cdot 1 - 7 = 5x - 5$

$2x - 2 - 7 = 5x - 5$

2. Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения (выполняем вычитание чисел):

$2x - 9 = 5x - 5$

3. Собираем все слагаемые с переменной x в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $5x$ из правой части в левую со сменой знака, а $-9$ из левой части в правую, также изменив знак:

$2x - 5x = -5 + 9$

4. Упрощаем обе части уравнения, выполняя сложение и вычитание:

$-3x = 4$

5. Находим значение x. Для этого делим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на -3:

$x = \frac{4}{-3}$

$x = -\frac{4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$

19 Из палаточного лагеря к станции вышел турист со скоростью 6 км/ч. Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой $x$ в нём обозначено время движения туриста в часах?

1) $12x = 6\left(x + \frac{1}{3}\right)$

2) $6x = 12\left(x - \frac{1}{3}\right)$

3) $12x = 6\left(x - \frac{1}{6}\right)$

4) $6x = 12\left(x + \frac{1}{6}\right)$

Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – искомое расстояние от лагеря до станции в км.
• $v_т = 6$ км/ч – скорость туриста.
• $v_в = 12$ км/ч – скорость велосипедиста.
• $t_т$ – время движения туриста в часах.
• $t_в$ – время движения велосипедиста в часах.

По условию, велосипедист выехал на 15 минут позже туриста и приехал на 5 минут раньше. Это означает, что велосипедист находился в пути на $15 + 5 = 20$ минут меньше, чем турист.

Переведем разницу во времени в часы:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Следовательно, время движения велосипедиста можно выразить через время движения туриста:

$t_в = t_т - \frac{1}{3}$

Расстояние, которое прошел турист, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:

$S = v_т \cdot t_т = 6t_т$

Расстояние, которое проехал велосипедист:

$S = v_в \cdot t_в = 12t_в = 12(t_т - \frac{1}{3})$

Поскольку они преодолели одно и то же расстояние, мы можем приравнять эти два выражения:

$6t_т = 12(t_т - \frac{1}{3})$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t_т$:

$6t_т = 12t_т - 12 \cdot \frac{1}{3}$

$6t_т = 12t_т - 4$

$12t_т - 6t_т = 4$

$6t_т = 4$

$t_т = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ часа.

Зная время движения туриста, найдем расстояние:

$S = 6 \cdot t_т = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ км.

Для проверки можно вычислить расстояние, используя данные велосипедиста:

$t_в = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ часа.

$S = 12 \cdot t_в = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ км.

Результаты совпадают.

Ответ: расстояние от лагеря до станции равно 4 км.

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой x в нём обозначено время движения туриста в часах?

По условию, переменная $x$ обозначает время движения туриста в часах, то есть $t_т = x$.

Расстояние, пройденное туристом со скоростью $v_т = 6$ км/ч, равно:

$S_т = 6x$

Как мы уже определили, время движения велосипедиста $t_в$ на $\frac{1}{3}$ часа меньше времени движения туриста $x$. Таким образом:

$t_в = x - \frac{1}{3}$

Расстояние, пройденное велосипедистом со скоростью $v_в = 12$ км/ч, равно:

$S_в = 12 \left(x - \frac{1}{3}\right)$

Так как расстояние одинаково ($S_т = S_в$), мы можем составить уравнение:

$6x = 12 \left(x - \frac{1}{3}\right)$

Сравнивая это уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту под номером 2.

Ответ: уравнение, соответствующее условию задачи, — это $6x = 12 \left(x - \frac{1}{3}\right)$, что является вариантом 2).

20 Найдите ответ на вопрос задачи, сформулированной в задании 19.

1) $\frac{2}{3}$ км

2) 4 км

3) $\frac{1}{3}$ км

4) 2 км

Поскольку условие задачи, сформулированной в задании 19, не приведено, мы восстановим его, основываясь на предложенных вариантах ответа. Наиболее вероятным является классическая задача на встречное движение, для которой один из ответов будет верным.

Гипотетическое условие задачи 19:

Из двух пунктов, расстояние между которыми составляет 6 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого пешехода равна 4 км/ч, а скорость второго — 2 км/ч. На каком расстоянии от пункта отправления второго пешехода они встретятся?

Решение:

1. Сначала найдем скорость сближения пешеходов. Так как они движутся навстречу друг другу, их общая скорость равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$

2. Теперь определим время, через которое пешеходы встретятся. Для этого разделим общее расстояние между пунктами на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{6 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$

3. Зная время до встречи, мы можем найти расстояние, которое прошел второй пешеход. Это расстояние и будет являться расстоянием от его пункта отправления до места встречи. Умножим скорость второго пешехода на время в пути:

$S_2 = v_2 \times t = 2 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 2 \text{ км}$

Таким образом, пешеходы встретятся на расстоянии 2 км от пункта, из которого вышел второй пешеход. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 2 км