Номер 19, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 7. Многочлены - номер 19, страница 225.

19 Из палаточного лагеря к станции вышел турист со скоростью 6 км/ч. Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой $x$ в нём обозначено время движения туриста в часах?

1) $12x = 6\left(x + \frac{1}{3}\right)$

2) $6x = 12\left(x - \frac{1}{3}\right)$

3) $12x = 6\left(x - \frac{1}{6}\right)$

4) $6x = 12\left(x + \frac{1}{6}\right)$

Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – искомое расстояние от лагеря до станции в км.
• $v_т = 6$ км/ч – скорость туриста.
• $v_в = 12$ км/ч – скорость велосипедиста.
• $t_т$ – время движения туриста в часах.
• $t_в$ – время движения велосипедиста в часах.

По условию, велосипедист выехал на 15 минут позже туриста и приехал на 5 минут раньше. Это означает, что велосипедист находился в пути на $15 + 5 = 20$ минут меньше, чем турист.

Переведем разницу во времени в часы:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Следовательно, время движения велосипедиста можно выразить через время движения туриста:

$t_в = t_т - \frac{1}{3}$

Расстояние, которое прошел турист, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:

$S = v_т \cdot t_т = 6t_т$

Расстояние, которое проехал велосипедист:

$S = v_в \cdot t_в = 12t_в = 12(t_т - \frac{1}{3})$

Поскольку они преодолели одно и то же расстояние, мы можем приравнять эти два выражения:

$6t_т = 12(t_т - \frac{1}{3})$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t_т$:

$6t_т = 12t_т - 12 \cdot \frac{1}{3}$

$6t_т = 12t_т - 4$

$12t_т - 6t_т = 4$

$6t_т = 4$

$t_т = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ часа.

Зная время движения туриста, найдем расстояние:

$S = 6 \cdot t_т = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ км.

Для проверки можно вычислить расстояние, используя данные велосипедиста:

$t_в = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ часа.

$S = 12 \cdot t_в = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ км.

Результаты совпадают.

Ответ: расстояние от лагеря до станции равно 4 км.

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой x в нём обозначено время движения туриста в часах?

По условию, переменная $x$ обозначает время движения туриста в часах, то есть $t_т = x$.

Расстояние, пройденное туристом со скоростью $v_т = 6$ км/ч, равно:

$S_т = 6x$

Как мы уже определили, время движения велосипедиста $t_в$ на $\frac{1}{3}$ часа меньше времени движения туриста $x$. Таким образом:

$t_в = x - \frac{1}{3}$

Расстояние, пройденное велосипедистом со скоростью $v_в = 12$ км/ч, равно:

$S_в = 12 \left(x - \frac{1}{3}\right)$

Так как расстояние одинаково ($S_т = S_в$), мы можем составить уравнение:

$6x = 12 \left(x - \frac{1}{3}\right)$

Сравнивая это уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту под номером 2.

Ответ: уравнение, соответствующее условию задачи, — это $6x = 12 \left(x - \frac{1}{3}\right)$, что является вариантом 2).