Номер 763, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 763, страница 214.

763 a) Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8 ч. Собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и чему равно всё расстояние, которое она проплыла.

б) Пловец плыл 10 мин по течению реки и 15 мин против течения и проплыл всего 2100 м. Определите собственную скорость пловца (в м/мин), если скорость течения реки 30 м/мин.

а)

Обозначим искомые величины:
$t_{по}$ – время, которое лодка плыла по течению, в часах.
$S_{общ}$ – всё расстояние, которое проплыла лодка, в км.

По условию задачи известны:
Собственная скорость лодки: $v_{соб} = 8$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = 2$ км/ч.
Общее время в пути: $t_{общ} = 8$ ч.

1. Найдём скорость лодки по течению и против течения.
Скорость по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 8 + 2 = 10$ км/ч.
Скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 8 - 2 = 6$ км/ч.

2. Составим уравнение.
Пусть $t_{по}$ – время движения по течению. Тогда время движения против течения будет $t_{против} = t_{общ} - t_{по} = 8 - t_{по}$.
Лодка проплыла одинаковое расстояние $s$ от пристани и обратно. Расстояние равно произведению скорости на время ($s = v \cdot t$).
Расстояние по течению: $s = v_{по} \cdot t_{по} = 10 \cdot t_{по}$.
Расстояние против течения: $s = v_{против} \cdot t_{против} = 6 \cdot (8 - t_{по})$.
Приравняем эти два выражения для расстояния:
$10 \cdot t_{по} = 6 \cdot (8 - t_{по})$

3. Решим уравнение и найдём время движения по течению.
$10 t_{по} = 48 - 6 t_{по}$
$10 t_{по} + 6 t_{по} = 48$
$16 t_{по} = 48$
$t_{по} = 48 / 16 = 3$ ч.

4. Найдём общее расстояние.
Сначала найдём расстояние в одну сторону, используя время движения по течению:
$s = 10 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 30$ км.
Лодка проплыла это расстояние дважды (туда и обратно), поэтому общее расстояние:
$S_{общ} = 2 \cdot s = 2 \cdot 30 = 60$ км.

Ответ: лодка плыла по течению 3 часа; всё расстояние, которое она проплыла, равно 60 км.

б)

Обозначим искомую величину:
$v_{соб}$ – собственная скорость пловца, в м/мин.

По условию задачи известны:
Время движения по течению: $t_{по} = 10$ мин.
Время движения против течения: $t_{против} = 15$ мин.
Общее расстояние: $S_{общ} = 2100$ м.
Скорость течения реки: $v_{теч} = 30$ м/мин.

1. Выразим скорость пловца по течению и против течения через его собственную скорость $v_{соб}$.
Скорость по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 30$ м/мин.
Скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 30$ м/мин.

2. Составим уравнение.
Общее расстояние – это сумма расстояний, пройденных по течению и против течения.
$S_{общ} = (v_{по} \cdot t_{по}) + (v_{против} \cdot t_{против})$
Подставим известные значения и выражения:
$2100 = (v_{соб} + 30) \cdot 10 + (v_{соб} - 30) \cdot 15$

3. Решим уравнение и найдём собственную скорость пловца $v_{соб}$.
$2100 = 10 v_{соб} + 300 + 15 v_{соб} - 450$
Приведём подобные слагаемые:
$2100 = (10 v_{соб} + 15 v_{соб}) + (300 - 450)$
$2100 = 25 v_{соб} - 150$
Перенесём -150 в левую часть уравнения:
$2100 + 150 = 25 v_{соб}$
$2250 = 25 v_{соб}$
$v_{соб} = 2250 / 25 = 90$ м/мин.

Ответ: собственная скорость пловца равна 90 м/мин.