Страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулы разности кубов и суммы кубов; прочитайте эти формулы. Среди приведённых выражений выберите те, к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов: $1 - a^3$; $x^3 + y^2$; $b^3 + 8c^3$.

Формулы разности кубов и суммы кубов

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Формула разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ читается так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Выбор выражений для применения формул

Проанализируем каждое из приведённых выражений:

• Выражение $1 - a^3$. Его можно представить как разность кубов, так как $1 = 1^3$. Таким образом, мы имеем $1^3 - a^3$. К этому выражению можно применить формулу разности кубов.

• Выражение $x^3 + y^2$. Это выражение не является ни суммой, ни разностью кубов, так как слагаемое $y^2$ является квадратом, а не кубом. Следовательно, к этому выражению нельзя применить данные формулы.

• Выражение $b^3 + 8c^3$. Его можно представить как сумму кубов. Слагаемое $8c^3$ можно записать в виде куба: $8c^3 = (2c)^3$. Таким образом, мы имеем $b^3 + (2c)^3$. К этому выражению можно применить формулу суммы кубов.

Ответ: Выражения, к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов: $1 - a^3$ и $b^3 + 8c^3$.

Примените нужную формулу для разложения на множители выражения:

$8 - c^3$; $x^3 + 1$; $27a^3 - b^3$.

Для разложения на множители данных выражений необходимо применить формулы сокращенного умножения: разность кубов и сумму кубов.

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

8 - c³

Данное выражение представляет собой разность кубов. Мы можем представить число 8 как $2^3$. Тогда выражение примет вид:

$2^3 - c^3$

Теперь применим формулу разности кубов, где $a = 2$ и $b = c$:

$8 - c^3 = 2^3 - c^3 = (2 - c)(2^2 + 2 \cdot c + c^2) = (2 - c)(4 + 2c + c^2)$

Ответ: $(2 - c)(4 + 2c + c^2)$.

x³ + 1

Это выражение является суммой кубов. Мы можем представить число 1 как $1^3$. Тогда выражение примет вид:

$x^3 + 1^3$

Применим формулу суммы кубов, где $a = x$ и $b = 1$:

$x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

27a³ - b³

Это выражение также является разностью кубов. Представим член $27a^3$ как куб выражения $3a$, поскольку $27 = 3^3$. Таким образом, $27a^3 = (3a)^3$. Выражение примет вид:

$(3a)^3 - b^3$

Применим формулу разности кубов, где в качестве $a$ выступает $3a$, а в качестве $b$ выступает $b$:

$27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a - b)((3a)^2 + (3a)b + b^2) = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

Ответ: $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$.

871 Выполните умножение по правилу умножения многочленов:

а) $(x+1)(x^2 - x + 1);$

б) $(a-c)(a^2 + ac + c^2).$

а) Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. Умножим многочлен $(x+1)$ на многочлен $(x^2 - x + 1)$.

$(x+1)(x^2 - x + 1) = x \cdot (x^2 - x + 1) + 1 \cdot (x^2 - x + 1)$

Раскроем скобки, умножая $x$ на каждый член второго многочлена, а затем $1$ на каждый член второго многочлена:

$x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-x) + 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (x - x) + 1$

Сумма противоположных членов $-x^2$ и $x^2$ равна нулю, так же как и сумма $x$ и $-x$.

$x^3 + 0 + 0 + 1 = x^3 + 1$

Заметим, что это также формула сокращенного умножения "сумма кубов": $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. Для $a=x$ и $b=1$ получаем $x^3+1^3 = x^3+1$.

Ответ: $x^3 + 1$.

б) Аналогично выполним умножение для выражения $(a-c)(a^2 + ac + c^2)$.

$(a-c)(a^2 + ac + c^2) = a \cdot (a^2 + ac + c^2) - c \cdot (a^2 + ac + c^2)$

Раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot (ac) + a \cdot c^2 - c \cdot a^2 - c \cdot (ac) - c \cdot c^2 = a^3 + a^2c + ac^2 - a^2c - ac^2 - c^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2c - a^2c) + (ac^2 - ac^2) - c^3$

Члены $a^2c$ и $-a^2c$ взаимно уничтожаются, как и члены $ac^2$ и $-ac^2$.

$a^3 + 0 + 0 - c^3 = a^3 - c^3$

Это известная формула сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае переменные в формуле совпадают с переменными в задании, что сразу дает результат $a^3 - c^3$.

Ответ: $a^3 - c^3$.

872 Выполните умножение, используя формулу суммы кубов или разности кубов:

а) $(m - 1)(m^2 + m + 1);$

б) $(x + y)(x^2 - xy + y^2);$

в) $(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2);$

г) $(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4).$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения:

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

В выражении $(m-1)(m^2 + m + 1)$ мы имеем дело с формулой разности кубов, где $a = m$ и $b = 1$.

Первый множитель $(m-1)$ соответствует $(a-b)$.

Второй множитель $(m^2 + m + 1)$ соответствует неполному квадрату суммы $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = m^2$
• $ab = m \cdot 1 = m$
• $b^2 = 1^2 = 1$

Таким образом, выражение сворачивается в разность кубов $a^3$ и $b^3$.

$(m-1)(m^2 + m + 1) = m^3 - 1^3 = m^3 - 1$.

Ответ: $m^3 - 1$.

В выражении $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$ используется формула суммы кубов, где $a = x$ и $b = y$.

Первый множитель $(x+y)$ соответствует $(a+b)$.

Второй множитель $(x^2 - xy + y^2)$ соответствует неполному квадрату разности $(a^2 - ab + b^2)$:

• $a^2 = x^2$
• $ab = xy$
• $b^2 = y^2$

Таким образом, выражение сворачивается в сумму кубов $a^3$ и $b^3$.

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Ответ: $x^3 + y^3$.

В выражении $(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2)$ мы можем применить формулу суммы кубов. Здесь $A = 2a$ и $B = 2b$.

Первый множитель $(2a+2b)$ соответствует $(A+B)$.

Второй множитель $(4a^2 - 4ab + 4b^2)$ соответствует неполному квадрату разности $(A^2 - AB + B^2)$:

• $A^2 = (2a)^2 = 4a^2$
• $AB = (2a)(2b) = 4ab$
• $B^2 = (2b)^2 = 4b^2$

Таким образом, выражение сворачивается в сумму кубов $A^3$ и $B^3$.

$(2a + 2b)(4a^2 - 4ab + 4b^2) = (2a)^3 + (2b)^3 = 8a^3 + 8b^3$.

Ответ: $8a^3 + 8b^3$.

В выражении $(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4)$ мы видим структуру формулы разности кубов, где $a = 2$ и $b = y^2$.

Первый множитель $(2 - y^2)$ соответствует $(a-b)$.

Второй множитель $(4 + 2y^2 + y^4)$ соответствует неполному квадрату суммы $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = 2^2 = 4$
• $ab = 2 \cdot y^2 = 2y^2$
• $b^2 = (y^2)^2 = y^4$

Таким образом, выражение сворачивается в разность кубов $a^3$ и $b^3$.

$(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4) = 2^3 - (y^2)^3 = 8 - y^6$.

Ответ: $8 - y^6$.

Разложите на множители (873–874).

873 a) $x^3 + y^3;$

б) $x^3 + 1;$

в) $m^3 + 27;$

г) $8 + c^3;$

д) $y^3 + \frac{1}{8};$

е) $\frac{8}{27} + z^3.$

Для разложения на множители выражений, представляющих собой сумму кубов, используется следующая формула сокращенного умножения:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Применим эту формулу к каждому из заданий.

а) $x^3 + y^3$

В данном случае выражение уже представлено в виде суммы кубов. Здесь $a = x$ и $b = y$. Применяем формулу:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

б) $x^3 + 1$

Представим число $1$ как $1^3$. Тогда выражение примет вид $x^3 + 1^3$. Здесь $a = x$ и $b = 1$.

Подставляем в формулу суммы кубов:

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

в) $m^3 + 27$

Представим число $27$ как $3^3$. Тогда выражение примет вид $m^3 + 3^3$. Здесь $a = m$ и $b = 3$.

Используем формулу:

$m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$

Ответ: $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$

г) $8 + c^3$

Представим число $8$ как $2^3$. Тогда выражение примет вид $2^3 + c^3$. Здесь $a = 2$ и $b = c$.

Подставляем в формулу:

$2^3 + c^3 = (2 + c)(2^2 - 2 \cdot c + c^2) = (2 + c)(4 - 2c + c^2)$

Ответ: $(2 + c)(4 - 2c + c^2)$

д) $y^3 + \frac{1}{8}$

Представим дробь $\frac{1}{8}$ как куб числа $\frac{1}{2}$, то есть $(\frac{1}{2})^3$. Выражение примет вид $y^3 + (\frac{1}{2})^3$. Здесь $a = y$ и $b = \frac{1}{2}$.

Применяем формулу суммы кубов:

$y^3 + (\frac{1}{2})^3 = (y + \frac{1}{2})(y^2 - y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = (y + \frac{1}{2})(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4})$

Ответ: $(y + \frac{1}{2})(y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4})$

е) $\frac{8}{27} + z^3$

Представим дробь $\frac{8}{27}$ как куб числа $\frac{2}{3}$, то есть $(\frac{2}{3})^3$. Выражение примет вид $(\frac{2}{3})^3 + z^3$. Здесь $a = \frac{2}{3}$ и $b = z$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{2}{3})^3 + z^3 = (\frac{2}{3} + z)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot z + z^2) = (\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$

Ответ: $(\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$

874 а) $p^3 - q^3$;

б) $a^3 - 8$;

в) $1 - x^3$;

г) $-x^3 + y^3$;

д) $b^3 - \frac{1}{125}$;

е) $\frac{1}{27} - t^3$.

а) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В этом примере $a = p$ и $b = q$.
Применяем формулу:
$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.
Ответ: $(p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

б) Это выражение также является разностью кубов. Сначала представим число 8 в виде куба: $8 = 2^3$.
Теперь выражение имеет вид $a^3 - 2^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = a$ и $b = 2$.
Подставляем значения в формулу:
$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

в) Выражение $1 - x^3$ можно представить как разность кубов, так как $1 = 1^3$.
Таким образом, получаем $1^3 - x^3$.
Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = x$.
$1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

г) Переставим слагаемые в выражении $-x^3 + y^3$, чтобы получить стандартный вид разности кубов: $y^3 - x^3$.
Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y$ и $b = x$.
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$.
Ответ: $(y - x)(y^2 + yx + x^2)$.

д) Это разность кубов. Представим дробь $\frac{1}{125}$ в виде куба: $\frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3$.
Выражение принимает вид $b^3 - (\frac{1}{5})^3$.
Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = b$ и $b = \frac{1}{5}$.
$b^3 - (\frac{1}{5})^3 = (b - \frac{1}{5})(b^2 + b \cdot \frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^2) = (b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.
Ответ: $(b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.

е) Выражение $\frac{1}{27} - t^3$ является разностью кубов. Представим $\frac{1}{27}$ как куб числа: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.
Получаем выражение $(\frac{1}{3})^3 - t^3$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = t$.
$(\frac{1}{3})^3 - t^3 = (\frac{1}{3} - t)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot t + t^2) = (\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.

875 Примените для разложения на множители, если это возможно, формулу суммы или разности кубов:

а) $8x^3 + y^3$;

б) $9a^3 + b^3$;

в) $1 - 27a^3$;

г) $8m^3 - 64n^3$;

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$;

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$.

Для разложения выражений на множители будем использовать формулы суммы и разности кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

а) $8x^3 + y^3$

Это выражение представляет собой сумму кубов. Представим каждый член в виде куба:

$8x^3 = (2x)^3$

$y^3 = (y)^3$

Применим формулу суммы кубов, где $a = 2x$ и $b = y$:

$(2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)(y) + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

Ответ: $(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

б) $9a^3 + b^3$

Чтобы применить формулу суммы кубов, необходимо, чтобы оба слагаемых являлись точными кубами. Слагаемое $b^3$ является кубом переменной $b$. Однако коэффициент $9$ в слагаемом $9a^3$ не является кубом целого или рационального числа ($2^3=8$, $3^3=27$). Следовательно, разложить это выражение на множители с помощью формулы суммы кубов (в рамках рациональных чисел) невозможно.

Ответ: Разложить на множители по формуле суммы кубов невозможно.

в) $1 - 27a^3$

Это выражение является разностью кубов. Представим каждый член в виде куба:

$1 = 1^3$

$27a^3 = (3a)^3$

Применим формулу разности кубов, где $a = 1$ и $b = 3a$:

$1^3 - (3a)^3 = (1 - 3a)(1^2 + (1)(3a) + (3a)^2) = (1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$.

Ответ: $(1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$.

г) $8m^3 - 64n^3$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $8$:

$8m^3 - 64n^3 = 8(m^3 - 8n^3)$

Теперь выражение в скобках $m^3 - 8n^3$ является разностью кубов. Представим его члены в виде кубов:

$m^3 = (m)^3$

$8n^3 = (2n)^3$

Применим формулу разности кубов для выражения в скобках, где $a = m$ и $b = 2n$:

$m^3 - (2n)^3 = (m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) = (m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Ответ: $8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$

Для применения формулы разности кубов $a^3 - b^3$ необходимо, чтобы оба члена выражения являлись точными кубами. Первый член $x^6$ можно представить как куб: $x^6 = (x^2)^3$. Однако второй член $\frac{1}{8}z^2$ не является кубом, так как степень переменной $z$ равна $2$, а число $2$ не делится нацело на $3$. Поэтому разложить данное выражение на множители по формуле разности кубов невозможно.

Ответ: Разложить на множители по формуле разности кубов невозможно.

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$

Это выражение является суммой кубов. Представим каждый член в виде куба:

$\frac{1}{8}t^3 = (\frac{1}{2}t)^3$

$8s^3 = (2s)^3$

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{1}{2}t$ и $b = 2s$:

$(\frac{1}{2}t)^3 + (2s)^3 = (\frac{1}{2}t + 2s)((\frac{1}{2}t)^2 - (\frac{1}{2}t)(2s) + (2s)^2) = (\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$.