Страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

a) Какое свойство произведения используется для решения уравнения $(x - 1)(x + 5) = 0$ (сформулируйте это свойство)? Решите данное уравнение.

б) Приведите свой пример уравнения, решаемого на основе равенства нулю произведения.

а) Для решения уравнения $(x - 1)(x + 5) = 0$ используется свойство равенства произведения нулю.

Формулировка свойства: Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. То есть, если $A \cdot B = 0$, то либо $A = 0$, либо $B = 0$.

Решим данное уравнение, используя это свойство. Уравнение $(x - 1)(x + 5) = 0$ распадается на два более простых уравнения:

1) $x - 1 = 0$

$x_1 = 1$

2) $x + 5 = 0$

$x_2 = -5$

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $1; -5$.

б) Пример уравнения, которое решается на основе равенства нулю произведения: $x(2x + 7) = 0$.

Это уравнение также сводится к совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$

2) $2x + 7 = 0$

$2x = -7$

$x = -3.5$

Корнями этого уравнения являются $0$ и $-3.5$.

Ответ: $x(2x + 7) = 0$.

Примените приём решения уравнения, рассмотренный в примере 2, для нахождения корней уравнения $x^2 - 6x = 0$.

Для решения уравнения $x^2 - 6x = 0$ применим метод выделения полного квадрата, как предложено в условии.

Идея метода состоит в том, чтобы преобразовать левую часть уравнения в полный квадрат вида $(x-a)^2$, который раскрывается по формуле $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$.

Сравнивая выражение в левой части нашего уравнения $x^2 - 6x$ с формулой $x^2 - 2ax$, мы можем найти значение $a$.
$2ax = 6x$
$2a = 6$
$a = 3$

Чтобы получить полный квадрат $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, нам необходимо добавить к выражению $x^2 - 6x$ член $a^2 = 3^2 = 9$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны прибавить 9 к обеим его частям:
$x^2 - 6x + 9 = 0 + 9$

Теперь левая часть уравнения является полным квадратом, и мы можем свернуть ее:
$(x-3)^2 = 9$

Далее извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня (положительный и отрицательный):
$x-3 = \pm\sqrt{9}$
$x-3 = \pm3$

Мы получили два простых линейных уравнения, решив которые, найдем корни исходного уравнения:
1) $x - 3 = 3 \implies x_1 = 3 + 3 = 6$
2) $x - 3 = -3 \implies x_2 = 3 - 3 = 0$

Ответ: $0; 6$.

900 Является ли корнем уравнения $(x + 8)(2x - 6) = 0$ число: 0; -3; 3; -5; 5; -8; 8?

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в данное уравнение. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения. Если равенство неверное, то число не является корнем.

Уравнение: $(x + 8)(2x - 6) = 0$.

0

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$(0 + 8)(2 \cdot 0 - 6) = 8 \cdot (0 - 6) = 8 \cdot (-6) = -48$.

Так как $-48 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет.

-3

Подставим $x = -3$ в уравнение:

$(-3 + 8)(2 \cdot (-3) - 6) = 5 \cdot (-6 - 6) = 5 \cdot (-12) = -60$.

Так как $-60 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет.

3

Подставим $x = 3$ в уравнение:

$(3 + 8)(2 \cdot 3 - 6) = 11 \cdot (6 - 6) = 11 \cdot 0 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Ответ: да.

-5

Подставим $x = -5$ в уравнение:

$(-5 + 8)(2 \cdot (-5) - 6) = 3 \cdot (-10 - 6) = 3 \cdot (-16) = -48$.

Так как $-48 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет.

5

Подставим $x = 5$ в уравнение:

$(5 + 8)(2 \cdot 5 - 6) = 13 \cdot (10 - 6) = 13 \cdot 4 = 52$.

Так как $52 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет.

-8

Подставим $x = -8$ в уравнение:

$(-8 + 8)(2 \cdot (-8) - 6) = 0 \cdot (-16 - 6) = 0 \cdot (-22) = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Ответ: да.

8

Подставим $x = 8$ в уравнение:

$(8 + 8)(2 \cdot 8 - 6) = 16 \cdot (16 - 6) = 16 \cdot 10 = 160$.

Так как $160 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет.

901 Найдите корни уравнения:

а) $(x+3)(x-5)=0;$

б) $(z-4)(2z+1)=0;$

в) $(7-x)(3+4x)=0;$

г) $y(3y+7)=0;$

д) $-2x(x-4)=0;$

е) $y(y+3)(y-6)=0;$

ж) $(1-x)(3x-2)(x+5)=0;$

з) $z(2-z)(3-2z)=0.$

а) Дано уравнение $(x + 3)(x - 5) = 0$.
Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого правила, приравниваем каждую скобку к нулю, чтобы найти корни уравнения.
1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$.
2) $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$.
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: $-3; 5$.

б) Дано уравнение $(z - 4)(2z + 1) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю.
1) $z - 4 = 0 \implies z_1 = 4$.
2) $2z + 1 = 0 \implies 2z = -1 \implies z_2 = -1/2$.
Корнями уравнения являются найденные значения $z$.
Ответ: $4; -1/2$.

в) Дано уравнение $(7 - x)(3 + 4x) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю.
1) $7 - x = 0 \implies x_1 = 7$.
2) $3 + 4x = 0 \implies 4x = -3 \implies x_2 = -3/4$.
Корнями уравнения являются найденные значения $x$.
Ответ: $7; -3/4$.

г) Дано уравнение $y(3y + 7) = 0$.
В данном случае множителями являются $y$ и $(3y + 7)$. Приравниваем их к нулю.
1) $y_1 = 0$.
2) $3y + 7 = 0 \implies 3y = -7 \implies y_2 = -7/3$.
Корнями уравнения являются найденные значения $y$.
Ответ: $0; -7/3$.

д) Дано уравнение $-2x(x - 4) = 0$.
Произведение равно нулю, если множители, содержащие переменную, равны нулю.
1) $x_1 = 0$.
2) $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.
Константа $-2$ не влияет на нахождение корней, так как она не равна нулю.
Ответ: $0; 4$.

е) Дано уравнение $y(y + 3)(y - 6) = 0$.
В уравнении три множителя, содержащих переменную. Приравниваем каждый из них к нулю.
1) $y_1 = 0$.
2) $y + 3 = 0 \implies y_2 = -3$.
3) $y - 6 = 0 \implies y_3 = 6$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $-3; 0; 6$.

ж) Дано уравнение $(1 - x)(3x - 2)(x + 5) = 0$.
Приравниваем каждый из трех множителей к нулю.
1) $1 - x = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x_2 = 2/3$.
3) $x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $-5; 2/3; 1$.

з) Дано уравнение $z(2 - z)(3 - 2z) = 0$.
Приравниваем каждый из трех множителей к нулю.
1) $z_1 = 0$.
2) $2 - z = 0 \implies z_2 = 2$.
3) $3 - 2z = 0 \implies 2z = 3 \implies z_3 = 3/2$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; 2; 3/2$.

Решите уравнение (902–905).

902 a) $3x^2 + 15x = 0$;

б) $9y - y^2 = 0$;

В) $-2x^2 - 4x = 0$;

Г) $x^3 - x^2 = 0$.

а)

Дано уравнение $3x^2 + 15x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель для $3x^2$ и $15x$ это $3x$.

$3x(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $3x = 0$

$x = 0$

2) $x + 5 = 0$

$x = -5$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -5$.

б)

Дано уравнение $9y - y^2 = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки.

$y(9 - y) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю, чтобы найти корни уравнения:

1) $y = 0$

2) $9 - y = 0$

$y = 9$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 9$.

в)

Дано уравнение $-2x^2 - 4x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для удобства решения, можно умножить обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знаков минус перед коэффициентами.

$(-1) \cdot (-2x^2 - 4x) = (-1) \cdot 0$

$2x^2 + 4x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $2x$ за скобки.

$2x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $2x = 0$

$x = 0$

2) $x + 2 = 0$

$x = -2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

г)

Дано уравнение $x^3 - x^2 = 0$.

Это кубическое уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x^2$ за скобки.

$x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1) $x^2 = 0$

$x = 0$

2) $x - 1 = 0$

$x = 1$

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

903 а) $x^2 - 4 = 0;$

б) $4x^2 - 25 = 0;$

В) $1 - z^2 = 0;$

Г) $3z^2 - 75 = 0.$

а) Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = 4$

Теперь, чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{4}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x = \pm2$.

б) Решим уравнение $4x^2 - 25 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$4x^2 = 25$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{25}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$x = \pm\frac{5}{2}$

Корни уравнения можно записать в виде десятичных дробей:

$x_1 = 2.5$ и $x_2 = -2.5$.

Ответ: $x = \pm2.5$.

в) Решим уравнение $1 - z^2 = 0$.

Перенесем член $-z^2$ в правую часть уравнения, чтобы он стал положительным:

$1 = z^2$

Это то же самое, что и $z^2 = 1$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{1}$

Корни уравнения:

$z_1 = 1$ и $z_2 = -1$.

Ответ: $z = \pm1$.

г) Решим уравнение $3z^2 - 75 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$3z^2 = 75$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $z^2$, то есть на 3:

$z^2 = \frac{75}{3}$

$z^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{25}$

Корни уравнения:

$z_1 = 5$ и $z_2 = -5$.

Ответ: $z = \pm5$.

904 a) $x^3 - x = 0;$

б) $4y - y^3 = 0;$

В) $5z^3 - 5z = 0;$

Г) $z - 9z^3 = 0.$

а) $x^3 - x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение. Выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$.

$(x-1)(x+1) = 0$

Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:

$x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

$x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: 0, 1 и -1.

Ответ: -1; 0; 1.

б) $4y - y^3 = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(4 - y^2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $y = 0$

2) $4 - y^2 = 0$

Решим второе уравнение. Это разность квадратов $2^2 - y^2 = (2-y)(2+y)$.

$(2-y)(2+y) = 0$

Уравнение имеет два решения:

$2 - y = 0$, откуда $y = 2$.

$2 + y = 0$, откуда $y = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: 0, 2 и -2.

Ответ: -2; 0; 2.

в) $5z^3 - 5z = 0$

Вынесем общий множитель $5z$ за скобки:

$5z(z^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $5z = 0$, откуда $z = 0$.

2) $z^2 - 1 = 0$

Второе уравнение — это разность квадратов $z^2 - 1^2 = (z-1)(z+1)$.

$(z-1)(z+1) = 0$

Получаем еще два корня:

$z - 1 = 0$, откуда $z = 1$.

$z + 1 = 0$, откуда $z = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: 0, 1 и -1.

Ответ: -1; 0; 1.

г) $z - 9z^3 = 0$

Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(1 - 9z^2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $z = 0$

2) $1 - 9z^2 = 0$

Решим второе уравнение. Это разность квадратов $1^2 - (3z)^2 = (1-3z)(1+3z)$.

$(1 - 3z)(1 + 3z) = 0$

Уравнение распадается на два:

$1 - 3z = 0$, откуда $3z = 1$ и $z = \frac{1}{3}$.

$1 + 3z = 0$, откуда $3z = -1$ и $z = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: 0, 1/3 и -1/3.

Ответ: $-\frac{1}{3}$; 0; $\frac{1}{3}$.

905 а) $4x^2 - 4x + 1 = 0;$ в) $5y^2 + 20y + 20 = 0;$

б) $x^2 - 10x + 25 = 0;$ г) $2y^2 - 12y + 18 = 0.$

Подсказка. а) Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена.

а) $4x^2 - 4x + 1 = 0$

Данный трёхчлен является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена:

$4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$.

Тогда уравнение примет вид:

$(2x - 1)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2x - 1 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $0.5$.

б) $x^2 - 10x + 25 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат. Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Свернем трёхчлен в квадрат двучлена:

$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$.

Получаем уравнение:

$(x - 5)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, имеем:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Ответ: $5$.

в) $5y^2 + 20y + 20 = 0$

Сначала разделим обе части уравнения на общий множитель 5, чтобы упростить его:

$\frac{5y^2}{5} + \frac{20y}{5} + \frac{20}{5} = \frac{0}{5}$

$y^2 + 4y + 4 = 0$

Теперь левая часть является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим трёхчлен в виде квадрата двучлена:

$y^2 + 4y + 4 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y + 2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(y + 2)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Ответ: $-2$.

г) $2y^2 - 12y + 18 = 0$

Для упрощения уравнения разделим обе его части на общий множитель 2:

$\frac{2y^2}{2} - \frac{12y}{2} + \frac{18}{2} = \frac{0}{2}$

$y^2 - 6y + 9 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Свернем трёхчлен:

$y^2 - 6y + 9 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y - 3)^2$.

Подставим в уравнение:

$(y - 3)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Ответ: $3$.

906 Найдите корни уравнения подбором, а затем решите это уравнение, применив разложение на множители:

а) $y^2 = y$;

б) $a^3 = a$;

в) $x^2 = 4x$;

г) $t^2 = -5t$.

а) $y^2 = y$

Сначала найдем корни подбором. Легко заметить, что $y=0$ и $y=1$ являются корнями, так как $0^2 = 0$ и $1^2 = 1$.
Теперь решим уравнение, применив разложение на множители. Перенесем $y$ в левую часть и вынесем общий множитель:
$y^2 - y = 0$
$y(y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $y=0$ или $y-1=0$, что дает $y=1$.

Ответ: $0; 1$.

б) $a^3 = a$

Подбором находим, что корнями являются числа $a=0$ (так как $0^3=0$), $a=1$ (так как $1^3=1$) и $a=-1$ (так как $(-1)^3=-1$).
Для решения перенесем все члены в левую часть и разложим на множители:
$a^3 - a = 0$
$a(a^2 - 1) = 0$
Используя формулу разности квадратов $a^2-1=(a-1)(a+1)$, получаем:
$a(a-1)(a+1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда три корня: $a=0$, $a=1$ и $a=-1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.

в) $x^2 = 4x$

Подбором находим корни $x=0$ (так как $0^2 = 4 \cdot 0$) и $x=4$ (так как $4^2 = 16$ и $4 \cdot 4 = 16$).
Теперь решим уравнение методом разложения на множители. Перенесем все в левую часть:
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$:
$x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x=0$ или $x-4=0$, что дает $x=4$.

Ответ: $0; 4$.

г) $t^2 = -5t$

Методом подбора находим корни $t=0$ (поскольку $0^2 = -5 \cdot 0$) и $t=-5$ (поскольку $(-5)^2 = 25$ и $-5 \cdot (-5) = 25$).
Решим уравнение, перенеся все члены в левую часть и вынеся общий множитель за скобки:
$t^2 + 5t = 0$
$t(t + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, $t=0$ или $t+5=0$, откуда $t=-5$.

Ответ: $-5; 0$.