Страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?

Существует несколько основных способов разложения многочленов на множители. Часто для полного разложения требуется применить комбинацию этих методов.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ основан на распределительном свойстве умножения $ac + bc = c(a + b)$. Если все члены многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки. Это, как правило, первый шаг, который стоит попробовать сделать.

Пример: Разложить на множители многочлен $15x^3y^2 + 10x^2y^3$.

Решение:
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 10. Это 5.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для $x$ это $x^2$, для $y$ это $y^2$.
3. Общий множитель равен $5x^2y^2$.
4. Выносим его за скобки: $15x^3y^2 + 10x^2y^3 = 5x^2y^2 \cdot (3x) + 5x^2y^2 \cdot (2y) = 5x^2y^2(3x + 2y)$.

Ответ: $5x^2y^2(3x + 2y)$

2. Использование формул сокращенного умножения

Этот метод заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул сокращенного умножения.

Основные формулы:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример 1: Разложить $25a^2 - 16$.

Решение:
Представим многочлен в виде разности квадратов: $25a^2 - 16 = (5a)^2 - 4^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5a$ и $b = 4$.
$(5a - 4)(5a + 4)$.

Пример 2: Разложить $x^2 + 12x + 36$.

Решение:
Это выражение похоже на формулу квадрата суммы. $x^2$ - это квадрат $x$, $36$ - это квадрат $6$. Проверим средний член: $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$.
Значит, $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$.

Ответ: для примера 1 - $(5a - 4)(5a + 4)$; для примера 2 - $(x + 6)^2$.

3. Способ группировки

Этот способ применяется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Члены многочлена группируются таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп (обычно в виде скобки).

Пример: Разложить на множители $xy - 6 + 3x - 2y$.

Решение:
1. Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$.
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$.
3. Теперь общим множителем является скобка $(y + 3)$. Вынесем ее: $(y + 3)(x - 2)$.

Ответ: $(y + 3)(x - 2)$

4. Разложение квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 14x - 5$.

Решение:
1. Найдем корни уравнения $3x^2 - 14x - 5 = 0$.
2. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.
3. Корни: $x_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$; $x_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
4. Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$: $3(x - 5)(x - (-\frac{1}{3})) = 3(x - 5)(x + \frac{1}{3})$.
5. Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель 3 на вторую скобку: $(x - 5)(3x + 1)$.

Ответ: $(x - 5)(3x + 1)$

5. Комбинация различных способов

На практике часто приходится использовать несколько способов последовательно. Рекомендуемый порядок действий: сначала проверить возможность вынесения общего множителя, затем поискать формулы сокращенного умножения, а после этого пробовать другие методы.

Пример: Разложить на множители $5a^3 - 5b^3$.

Решение:
1. (Вынесение общего множителя) Выносим 5 за скобки: $5(a^3 - b^3)$.
2. (Формула сокращенного умножения) Выражение в скобках является разностью кубов. Применяем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
3. Получаем: $5(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Ответ: $5(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя? Объясните на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$, как вынести за скобки общий множитель.

Вынесение за скобки общего множителя выполняется на основе распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения. Это свойство гласит, что для умножения суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В виде формулы это записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Операция вынесения общего множителя за скобки представляет собой применение этого свойства в обратном порядке: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Здесь $a$ — это общий множитель для слагаемых $ab$ и $ac$.

Ответ: вынесение за скобки общего множителя выполняется на основе распределительного свойства умножения относительно сложения.

Объяснение на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.
   Коэффициенты у нас $12$ и $3$. Их наибольший общий делитель — это $3$.
   НОД(12, 3) = 3.
2. Найти общие переменные в наименьшей степени.
   • Переменная $a$ входит в первый член в степени $1$ ($a^1$) и во второй в степени $2$ ($a^2$). Выбираем наименьшую степень: $a^1$ или просто $a$.
   • Переменная $b$ входит в первый член в степени $2$ ($b^2$) и во второй в степени $1$ ($b^1$). Выбираем наименьшую степень: $b^1$ или просто $b$.
3. Сформировать общий множитель.
   Перемножаем результаты из шагов 1 и 2: $3 \cdot a \cdot b = 3ab$. Это и есть общий множитель, который мы будем выносить за скобки.
4. Разделить каждый член исходного многочлена на общий множитель.
   Результаты деления составят выражение в скобках.
   • Делим первый член: $12ab^2 : (3ab) = (12:3) \cdot (a:a) \cdot (b^2:b) = 4 \cdot 1 \cdot b = 4b$.
   • Делим второй член: $3a^2b : (3ab) = (3:3) \cdot (a^2:a) \cdot (b:b) = 1 \cdot a \cdot 1 = a$.
5. Записать итоговое выражение.
   Записываем общий множитель, а в скобках — сумму результатов деления: $3ab(4b + a)$.

Таким образом, мы преобразовали сумму в произведение, вынеся общий множитель за скобки.

Ответ: $12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)$.

3 Объясните на примере многочлена $ax - bx + ay - by$, как выполняется разложение на множители способом группировки. Покажите разные возможности группировки слагаемых.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, при котором слагаемые многочлена объединяют в группы так, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель. После этого шага должен появиться новый общий множитель (в виде скобки), который также выносится за скобки, представляя исходный многочлен в виде произведения.

Рассмотрим многочлен $ax - bx + ay - by$.

Возможность 1: Группировка по парам в исходном порядке

1. Объединим слагаемые в группы так, как они записаны: первое со вторым и третье с четвертым. Для наглядности поставим скобки: $(ax - bx) + (ay - by)$.

2. В первой группе $(ax - bx)$ есть общий множитель $x$. Вынесем его за скобки: $x(a - b)$.

3. Во второй группе $(ay - by)$ есть общий множитель $y$. Вынесем его за скобки: $y(a - b)$.

4. Теперь наш многочлен выглядит так: $x(a - b) + y(a - b)$.

5. Мы видим, что у получившихся слагаемых есть новый общий множитель — это выражение в скобках $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x + y)$

Таким образом, мы разложили многочлен на два множителя: $(a - b)$ и $(x + y)$.

Ответ: $ax - bx + ay - by = (a - b)(x + y)$.

Возможность 2: Группировка слагаемых с одинаковыми буквенными коэффициентами

1. Переставим слагаемые в исходном многочлене, чтобы сгруппировать члены с общим множителем $a$ и члены с общим множителем $b$.

$ax - bx + ay - by = ax + ay - bx - by$

2. Объединим слагаемые в группы: $(ax + ay) + (-bx - by)$.

3. В первой группе $(ax + ay)$ вынесем за скобки общий множитель $a$: $a(x + y)$.

4. Во второй группе $(-bx - by)$ вынесем за скобки общий множитель $-b$. Важно вынести именно $-b$, чтобы выражение в скобках совпало с выражением в первой группе: $-b(x + y)$.

5. Теперь наш многочлен выглядит так: $a(x + y) - b(x + y)$.

6. У получившихся слагаемых есть общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(a - b)$

Как видно, результат тот же самый, что и в первом случае, так как от перестановки множителей произведение не меняется.

Ответ: $ax - bx + ay - by = (x + y)(a - b)$.

4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её. Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы.

Запишите формулу разности квадратов

Формула разности квадратов гласит: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.
Математическая запись формулы:$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Докажите её

Для доказательства формулы необходимо раскрыть скобки в её правой части, то есть перемножить многочлены $(a - b)$ и $(a + b)$. Будем умножать каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Теперь упростим полученное выражение. Мы знаем, что $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$. Также, от перемены мест множителей произведение не меняется, поэтому $a \cdot b = b \cdot a$. Следовательно, члены $a \cdot b$ и $-b \cdot a$ являются противоположными и в сумме дают ноль: $ab - ba = 0$.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства $(a - b)(a + b)$ и получили левую часть $a^2 - b^2$. Формула доказана.

Ответ: Доказательство выполнено путем раскрытия скобок в выражении $(a-b)(a+b)$, что в результате преобразований дает $a^2 - b^2$.

Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы

Вот несколько примеров выражений, которые представляют собой разность квадратов и могут быть разложены на множители:

• $x^2 - 25$. Здесь $a=x$, $b=5$. Раскладывается как $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
• $49y^2 - 1$. Здесь $a=7y$, $b=1$. Раскладывается как $(7y)^2 - 1^2 = (7y-1)(7y+1)$.
• $16m^2 - 81n^2$. Здесь $a=4m$, $b=9n$. Раскладывается как $(4m)^2 - (9n)^2 = (4m-9n)(4m+9n)$.
• $(a+3)^2 - c^2$. Здесь в качестве первого выражения выступает целая скобка $a=(a+3)$, а $b=c$. Раскладывается как $((a+3)-c)((a+3)+c) = (a+3-c)(a+3+c)$.

Ответ: Примеры выражений для разложения: $x^2 - 25$, $49y^2 - 1$, $16m^2 - 81n^2$, $(a+3)^2 - c^2$.

5 Запишите формулу разности кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $8 - 27y^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

В виде формулы это записывается так:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Доказательство формулы

Для доказательства тождества необходимо раскрыть скобки в правой части формулы и убедиться, что она равна левой части. Возьмем правую часть $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и выполним умножение многочлена на многочлен:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = $

$= a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразований мы получили левую часть исходной формулы. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство завершено, так как правая часть формулы тождественно равна левой: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Применение формулы на примере выражения $8 - 27y^3$

Чтобы разложить на множители выражение $8 - 27y^3$, необходимо представить его в виде разности кубов, то есть в форме $a^3 - b^3$.

1. Определим, что является $a$ и $b$.
Первый член выражения — это $8$. Мы можем представить его как куб числа $2$, то есть $8 = 2^3$. Следовательно, $a = 2$.
Второй член выражения — это $27y^3$. Мы можем представить его как куб выражения $3y$, то есть $27y^3 = (3y)^3$. Следовательно, $b = 3y$.

2. Теперь, когда мы нашли $a=2$ и $b=3y$, подставим их в формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$8 - 27y^3 = (2)^3 - (3y)^3 = (2 - 3y)(2^2 + 2 \cdot (3y) + (3y)^2)$

3. Упростим выражение во второй скобке, выполнив все операции:

$(2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя.

Ответ: $8 - 27y^3 = (2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$

6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Запишите формулу суммы кубов и докажите её

Формула суммы кубов двух выражений $a$ и $b$ имеет следующий вид:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Доказательство:

Для доказательства этого тождества достаточно раскрыть скобки в правой части выражения $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и убедиться, что полученный результат равен левой части $a^3 + b^3$.

Выполним умножение многочленов:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-a^2b$ и $+ba^2$ (что то же самое, что и $+a^2b$) взаимно уничтожаются. Аналогично, члены $+ab^2$ и $-ab^2$ также взаимно уничтожаются.

$a^3 \underbrace{- a^2b + a^2b}_{0} \underbrace{+ ab^2 - ab^2}_{0} + b^3 = a^3 + b^3$

Мы получили, что правая часть тождества равна левой: $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$. Формула доказана.

Ответ: Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Доказательство заключается в раскрытии скобок в правой части формулы, что после приведения подобных слагаемых дает выражение $a^3 + b^3$.

Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители

Чтобы разложить на множители выражение $1 + \frac{1}{8}a^3$, необходимо представить его в виде суммы кубов, чтобы затем применить соответствующую формулу.

1. Представим каждое слагаемое в виде куба некоторого выражения.

Первое слагаемое — это $1$, что можно записать как $1^3$.

Второе слагаемое — это $\frac{1}{8}a^3$. Так как $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$, то все слагаемое можно записать как $(\frac{1}{2}a)^3$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$1 + \frac{1}{8}a^3 = 1^3 + (\frac{1}{2}a)^3$

2. Теперь мы можем применить формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где в нашем случае $x = 1$, а $y = \frac{1}{2}a$.

Подставляем наши значения в формулу:

$1^3 + (\frac{1}{2}a)^3 = (1 + \frac{1}{2}a)(1^2 - 1 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2)$

3. Упростим выражение во второй скобке:

$(1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$

Это и является искомым разложением на множители.

Ответ: $1 + \frac{1}{8}a^3 = (1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$.

7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел.

Условие, при котором произведение двух или нескольких чисел равно нулю, является фундаментальным свойством в математике, известным как свойство нулевого произведения. Оно формулируется следующим образом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим это правило на примерах.

Для случая двух чисел, $a$ и $b$, их произведение $a \cdot b$ будет равно нулю, если $a=0$ или если $b=0$ (или если оба равны нулю). Это можно записать в виде строгого математического утверждения:
$a \cdot b = 0 \iff (a = 0 \text{ или } b = 0)$
Знак $\iff$ читается как «тогда и только тогда, когда» и означает, что утверждение верно в обе стороны:

1. Если один из множителей — ноль, то и все произведение будет равно нулю (например, $15 \cdot 0 = 0$).
2. Если известно, что произведение равно нулю ($a \cdot b = 0$), то это гарантирует, что как минимум один из множителей является нулем, так как произведение двух ненулевых чисел не может быть равно нулю.

Это же правило справедливо и для любого количества множителей. Произведение нескольких чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из этих множителей равен нулю.
$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n = 0 \iff \text{существует хотя бы один множитель } a_i \text{ такой, что } a_i = 0$
Например, произведение $12 \cdot (-3) \cdot 0 \cdot 25$ равно нулю, потому что один из множителей равен нулю.

Это свойство является ключевым при решении уравнений. Например, для решения уравнения вида $(x-7)(x+4) = 0$ мы используем это правило и заключаем, что уравнение верно, если $x-7=0$ или $x+4=0$. Отсюда находим корни уравнения: $x=7$ и $x=-4$.

Ответ: Произведение двух или нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1 $9x^2 + 3x.$

1. Чтобы разложить на множители многочлен $9x^2 + 3x$, необходимо найти наибольший общий множитель для обоих слагаемых и вынести его за скобки.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.
Коэффициенты в выражении — это 9 и 3.
Разложим их на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3$
$3 = 3$
Наибольший общий делитель для 9 и 3 — это 3.

2. Находим общую переменную часть.
Переменные части слагаемых — это $x^2$ и $x$. Общий множитель для переменных — это переменная в наименьшей степени, которая есть в каждом слагаемом. В данном случае это $x^1$ или просто $x$.

3. Определяем общий множитель всего выражения.
Общий множитель является произведением НОД коэффициентов и общей переменной части.
Общий множитель = $3 \cdot x = 3x$.

4. Выносим общий множитель за скобки.
Для этого каждое слагаемое исходного многочлена делим на общий множитель $3x$:
$\frac{9x^2}{3x} = 3x$
$\frac{3x}{3x} = 1$
Результат деления записываем в скобках.
$9x^2 + 3x = 3x(3x + 1)$

Ответ: $3x(3x + 1)$

2 $2ab - ab^2.$

Решение

Задача состоит в том, чтобы упростить или разложить на множители данное алгебраическое выражение. В данном случае наиболее подходящим действием является вынесение общего множителя за скобки.

Исходное выражение: $2ab - ab^2$.

1. Найдем общий множитель для обоих членов выражения.
Первый член: $2ab$.
Второй член: $ab^2$.
Оба члена содержат переменные $a$ и $b$.

2. Определим наибольшую степень каждой переменной, которую можно вынести за скобки.
Для переменной $a$: она присутствует в обоих членах в первой степени ($a^1$), значит, можем вынести $a$.
Для переменной $b$: в первом члене она в первой степени ($b^1$), а во втором — во второй ($b^2$). Мы можем вынести наименьшую из этих степеней, то есть $b^1$ или просто $b$.
Числовые коэффициенты — 2 и 1. Их наибольший общий делитель равен 1.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $ab$.

3. Вынесем общий множитель $ab$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $ab$:
$\frac{2ab}{ab} = 2$
$\frac{ab^2}{ab} = b$

4. Запишем результат. Общий множитель $ab$ ставится перед скобками, а в скобках записывается результат деления членов исходного выражения на этот множитель:
$2ab - ab^2 = ab(2 - b)$

Ответ: $ab(2 - b)$

3 $6xy + 3x^2y - 12xy^2.$

Для того чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки. Исходное выражение: $6xy + 3x^2y - 12xy^2$.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.
Коэффициенты многочлена: 6, 3, -12. Наибольший общий делитель для чисел 6, 3 и 12 равен 3.

2. Найдем общие переменные множители.
Каждый член многочлена содержит переменные $x$ и $y$. Выбираем каждую переменную в наименьшей степени, в которой она встречается в выражении.
- Для переменной $x$ наименьшая степень - это $x^1$ (или просто $x$).
- Для переменной $y$ наименьшая степень - это $y^1$ (или просто $y$).
Следовательно, общая переменная часть равна $xy$.

3. Определим общий множитель.
Общий множитель является произведением НОД коэффициентов и общей переменной части. Таким образом, общий множитель равен $3xy$.

4. Вынесем общий множитель за скобки.
Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $3xy$:
$\frac{6xy}{3xy} = 2$
$\frac{3x^2y}{3xy} = x$
$\frac{-12xy^2}{3xy} = -4y$
Теперь запишем выражение в виде произведения общего множителя на многочлен, полученный в скобках.

$6xy + 3x^2y - 12xy^2 = 3xy(2 + x - 4y)$

Ответ: $3xy(2 + x - 4y)$

4 $5a^4 - 10a^3 + 10a^2.$

Для того чтобы разложить на множители многочлен $5a^4 - 10a^3 + 10a^2$, первым шагом является нахождение и вынесение за скобки общего множителя для всех его членов.

1. Определим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 5, -10 и 10. НОД(5, 10, 10) = 5.

2. Определим общую переменную часть. Все члены содержат переменную $a$. Наименьшая степень переменной $a$ в многочлене — это $a^2$.

3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, равен $5a^2$. Выносим его:

$5a^4 - 10a^3 + 10a^2 = 5a^2 \cdot \left(\frac{5a^4}{5a^2}\right) - 5a^2 \cdot \left(\frac{10a^3}{5a^2}\right) + 5a^2 \cdot \left(\frac{10a^2}{5a^2}\right)$

Выполним деление каждого члена на $5a^2$:

$5a^2(a^{4-2} - 2a^{3-2} + 2a^{2-2}) = 5a^2(a^2 - 2a + 2)$

4. Теперь проверим, можно ли разложить на множители выражение в скобках, то есть квадратный трехчлен $a^2 - 2a + 2$. Для этого найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=2$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данный квадратный трехчлен не имеет действительных корней и, следовательно, не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, полученное выражение является окончательным разложением на множители.

Ответ: $5a^2(a^2 - 2a + 2)$

5 $y(y - 1) + 2(y - 1).$

5

Для упрощения данного выражения $y(y - 1) + 2(y - 1)$ необходимо вынести общий множитель за скобки.

Выражение состоит из двух слагаемых: первое слагаемое $y(y - 1)$ и второе слагаемое $2(y - 1)$. В обоих слагаемых присутствует общий множитель — двучлен $(y - 1)$.

Применим распределительный закон умножения в обратном порядке: $ac + bc = (a + b)c$. В нашем случае $a = y$, $b = 2$, а общий множитель $c = (y - 1)$.

Выносим общий множитель $(y - 1)$ за скобки. От первого слагаемого в скобках останется $y$, а от второго — $2$. Эти оставшиеся части ($y$ и $2$) мы складываем и получаем второй множитель $(y + 2)$.

Таким образом, получаем следующее преобразование:

$y(y - 1) + 2(y - 1) = (y + 2)(y - 1)$

Итоговое выражение представляет собой произведение двух двучленов. Порядок множителей не имеет значения, поэтому ответ также может быть записан как $(y - 1)(y + 2)$.

Ответ: $(y + 2)(y - 1)$

6 $ax - ay + 2x - 2y.$

Чтобы разложить на множители данное выражение, воспользуемся методом группировки. Этот метод заключается в объединении слагаемых в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, а затем вынести за скобки общий для всех групп множитель.

Исходное выражение: $ax - ay + 2x - 2y$.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(ax - ay) + (2x - 2y)$

Теперь в каждой группе вынесем общий множитель за скобки. В первой группе $(ax - ay)$ общим множителем является $a$. Во второй группе $(2x - 2y)$ общим множителем является $2$.

$a(x - y) + 2(x - y)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель — выражение в скобках $(x - y)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(x - y)(a + 2)$

Также можно было сгруппировать слагаемые иначе: первое с третьим и второе с четвертым.

$(ax + 2x) + (-ay - 2y)$

В первой группе $(ax + 2x)$ вынесем за скобки $x$. Во второй группе $(-ay - 2y)$ вынесем за скобки $-y$.

$x(a + 2) - y(a + 2)$

Теперь общим множителем является выражение $(a + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 2)(x - y)$

Как видно, результат не зависит от способа группировки.

Ответ: $(a + 2)(x - y)$

7 $x^2 - 64$.

Данное выражение $x^2 - 64$ представляет собой разность квадратов. Для того чтобы разложить его на множители, необходимо применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем выражении:
Первый член - это $x^2$, значит, $a = x$.
Второй член - это $64$. Мы знаем, что $64$ является квадратом числа $8$, то есть $64 = 8^2$. Значит, $b = 8$.

Теперь подставим найденные значения $a$ и $b$ в формулу разности квадратов:
$x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 8)$

8 $9a^2 - 16b^2.$

8

Для того чтобы разложить на множители данное выражение, необходимо использовать формулу сокращенного умножения, а именно "разность квадратов": $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим каждый член выражения $9a^2 - 16b^2$ в виде квадрата:

Первый член: $9a^2 = (3a)^2$.

Второй член: $16b^2 = (4b)^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $(3a)^2 - (4b)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $x = 3a$ и $y = 4b$:

$(3a)^2 - (4b)^2 = (3a - 4b)(3a + 4b)$.

Ответ: $(3a - 4b)(3a + 4b)$

9. $\frac{x^2 + 3x}{3a + ax}$.

9. Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо выполнить факторизацию (разложение на множители) числителя и знаменателя, а затем сократить полученную дробь.

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 + 3x}{3a + ax} $$

1. Рассмотрим числитель дроби: $x^2 + 3x$. Мы можем вынести общий множитель $x$ за скобки.

$$ x^2 + 3x = x(x + 3) $$

2. Теперь рассмотрим знаменатель: $3a + ax$. Здесь общим множителем является $a$. Вынесем его за скобки.

$$ 3a + ax = a(3 + x) $$

3. Подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{x(x + 3)}{a(3 + x)} $$

4. В числителе и знаменателе есть общий множитель. Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, выражение $(x + 3)$ равно выражению $(3 + x)$. Мы можем сократить дробь на этот общий множитель при условии, что он не равен нулю (т.е. $x \neq -3$) и знаменатель не равен нулю (т.е. $a \neq 0$).

$$ \frac{x \cdot \cancel{(x + 3)}}{a \cdot \cancel{(3 + x)}} = \frac{x}{a} $$

В результате упрощения получаем дробь $\frac{x}{a}$.

Ответ: $\frac{x}{a}$.

10 $\frac{b^2}{b^2 + bc}.$

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение $\frac{b^2}{b^2 + bc}$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала рассмотрим знаменатель дроби: $b^2 + bc$. Мы видим, что оба слагаемых, $b^2$ и $bc$, содержат общий множитель $b$. Вынесем этот общий множитель за скобки.

$b^2 + bc = b \cdot b + b \cdot c = b(b+c)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в знаменатель исходной дроби:

$\frac{b^2}{b^2 + bc} = \frac{b^2}{b(b+c)}$

В числителе у нас стоит $b^2$, что можно записать как $b \cdot b$. Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $b$, который присутствует и в числителе, и в знаменателе. Это сокращение допустимо при условии, что $b \neq 0$.

$\frac{b \cdot b}{b(b+c)} = \frac{\cancel{b} \cdot b}{\cancel{b}(b+c)} = \frac{b}{b+c}$

Таким образом, после упрощения мы получаем дробь $\frac{b}{b+c}$. Важно помнить, что данное равенство справедливо при условии, что знаменатель исходной дроби не равен нулю, то есть $b^2 + bc \neq 0$, что равносильно $b \neq 0$ и $b \neq -c$.

Ответ: $\frac{b}{b+c}$

11 $\frac{2a+4}{a^2-4}$.

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо разложить на множители его числитель и знаменатель.

Исходное выражение:

$$ \frac{2a + 4}{a^2 - 4} $$

Сначала разложим на множители числитель. В выражении $2a + 4$ вынесем общий множитель 2 за скобки:

$$ 2a + 4 = 2(a + 2) $$

Далее разложим на множители знаменатель. Выражение $a^2 - 4$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$$ a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2) $$

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{2a + 4}{a^2 - 4} = \frac{2(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} $$

Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(a + 2)$. Мы можем сократить дробь на этот множитель. Область допустимых значений переменной $a$ определяется условием $a^2 - 4 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Выполняем сокращение:

$$ \frac{2\cancel{(a + 2)}}{(a - 2)\cancel{(a + 2)}} = \frac{2}{a - 2} $$

Ответ: $ \frac{2}{a - 2} $

12 $\frac{x^2 - y^2}{x^2 - xy}$.

12.

Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Для его разложения применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$

2. В знаменателе $x^2 - xy$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$ x^2 - xy = x(x - y) $$

3. Теперь подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{x^2 - y^2}{x^2 - xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{x(x - y)} $$

4. Сократим общий множитель $(x - y)$ в числителе и знаменателе. Сокращение возможно при условии, что $x - y \neq 0$, то есть $x \neq y$. Также следует учесть, что изначальный знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $x \neq 0$.

$$ \frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{x\cancel{(x - y)}} = \frac{x + y}{x} $$

Полученное выражение можно также представить в виде суммы двух дробей, разделив почленно числитель на знаменатель:

$$ \frac{x + y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x} $$

Оба вида ответа, $\frac{x+y}{x}$ и $1 + \frac{y}{x}$, являются верными.

Ответ: $\frac{x+y}{x}$

13 $(x - a)(x + a)$.

13

Чтобы упростить данное выражение, мы можем использовать формулу сокращенного умножения, известную как "разность квадратов". Формула выглядит следующим образом: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В нашем случае, переменная $A$ соответствует $x$, а переменная $B$ соответствует $a$.

Применим формулу к нашему выражению:

$(x - a)(x + a) = x^2 - a^2$

Alternatively, можно раскрыть скобки, перемножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки (метод FOIL):

$(x - a)(x + a) = x \cdot x + x \cdot a - a \cdot x - a \cdot a$

Выполним умножение:

$= x^2 + ax - ax - a^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $ax$ и $-ax$ взаимно уничтожаются:

$= x^2 - a^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^2 - a^2$

14 $(2p - 3n)(2p + 3n).$

Для упрощения данного выражения используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов". Формула имеет следующий вид: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В заданном выражении $(2p - 3n)(2p + 3n)$ мы можем определить, что:
$a = 2p$
$b = 3n$

Применяя формулу разности квадратов, мы подставляем наши значения $a$ и $b$:
$(2p - 3n)(2p + 3n) = (2p)^2 - (3n)^2$

Далее необходимо возвести в степень каждый из членов:
$(2p)^2 = 2^2 \cdot p^2 = 4p^2$
$(3n)^2 = 3^2 \cdot n^2 = 9n^2$

Теперь вычитаем второй результат из первого, чтобы получить окончательное выражение:
$4p^2 - 9n^2$

Ответ: $4p^2 - 9n^2$

15 $(a+b)^2 - (a-b)(a+b)$

Чтобы упростить выражение $(a + b)^2 - (a - b)(a + b)$, можно пойти двумя путями: вынести общий множитель или раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Способ 1: Вынесение общего множителя

В выражении $(a + b)^2 - (a - b)(a + b)$ можно заметить общий множитель $(a + b)$. Представим $(a + b)^2$ как $(a + b)(a + b)$ и вынесем общий множитель за скобки.

$(a + b)(a + b) - (a - b)(a + b) = (a + b) \cdot [(a + b) - (a - b)]$

Теперь упростим выражение в квадратных скобках:

$(a + b) - (a - b) = a + b - a + b = 2b$

Подставим полученный результат обратно:

$(a + b) \cdot (2b) = 2b(a + b)$

Раскрыв скобки в этом выражении, получим многочлен:

$2b(a + b) = 2ab + 2b^2$

Способ 2: Раскрытие скобок с использованием формул

Мы можем использовать две формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Применим эти формулы к нашему выражению:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Теперь раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + 2ab + (b^2 + b^2) = 0 + 2ab + 2b^2 = 2ab + 2b^2$

Как и в первом способе, мы можем вынести общий множитель $2b$ за скобки, чтобы получить более компактную форму: $2b(a + b)$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $2ab + 2b^2$ или $2b(a + b)$.

16 $ (x - 1)(x + 1) - x(x - 3). $

16. Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $16(x - 1)(x + 1) - x(x - 3)$.

1. Упростим первую часть выражения $16(x - 1)(x + 1)$. Произведение скобок $(x - 1)(x + 1)$ является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Применим ее:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь умножим результат на 16:

$16(x^2 - 1) = 16 \cdot x^2 - 16 \cdot 1 = 16x^2 - 16$.

2. Теперь раскроем скобки во второй части выражения $-x(x - 3)$, используя распределительный закон умножения:

$-x(x - 3) = (-x) \cdot x + (-x) \cdot (-3) = -x^2 + 3x$.

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(16x^2 - 16) + (-x^2 + 3x) = 16x^2 - 16 - x^2 + 3x$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - x^2) + 3x - 16 = 15x^2 + 3x - 16$.

Дальнейшее упрощение невозможно, так как в выражении нет подобных членов.

Ответ: $15x^2 + 3x - 16$