Номер 7, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 7, страница 250.

7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел.

Условие, при котором произведение двух или нескольких чисел равно нулю, является фундаментальным свойством в математике, известным как свойство нулевого произведения. Оно формулируется следующим образом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим это правило на примерах.

Для случая двух чисел, $a$ и $b$, их произведение $a \cdot b$ будет равно нулю, если $a=0$ или если $b=0$ (или если оба равны нулю). Это можно записать в виде строгого математического утверждения:
$a \cdot b = 0 \iff (a = 0 \text{ или } b = 0)$
Знак $\iff$ читается как «тогда и только тогда, когда» и означает, что утверждение верно в обе стороны:

1. Если один из множителей — ноль, то и все произведение будет равно нулю (например, $15 \cdot 0 = 0$).
2. Если известно, что произведение равно нулю ($a \cdot b = 0$), то это гарантирует, что как минимум один из множителей является нулем, так как произведение двух ненулевых чисел не может быть равно нулю.

Это же правило справедливо и для любого количества множителей. Произведение нескольких чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из этих множителей равен нулю.
$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n = 0 \iff \text{существует хотя бы один множитель } a_i \text{ такой, что } a_i = 0$
Например, произведение $12 \cdot (-3) \cdot 0 \cdot 25$ равно нулю, потому что один из множителей равен нулю.

Это свойство является ключевым при решении уравнений. Например, для решения уравнения вида $(x-7)(x+4) = 0$ мы используем это правило и заключаем, что уравнение верно, если $x-7=0$ или $x+4=0$. Отсюда находим корни уравнения: $x=7$ и $x=-4$.

Ответ: Произведение двух или нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.