Номер 3, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 3, страница 250.

3 Объясните на примере многочлена $ax - bx + ay - by$, как выполняется разложение на множители способом группировки. Покажите разные возможности группировки слагаемых.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, при котором слагаемые многочлена объединяют в группы так, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель. После этого шага должен появиться новый общий множитель (в виде скобки), который также выносится за скобки, представляя исходный многочлен в виде произведения.

Рассмотрим многочлен $ax - bx + ay - by$.

Возможность 1: Группировка по парам в исходном порядке

1. Объединим слагаемые в группы так, как они записаны: первое со вторым и третье с четвертым. Для наглядности поставим скобки: $(ax - bx) + (ay - by)$.

2. В первой группе $(ax - bx)$ есть общий множитель $x$. Вынесем его за скобки: $x(a - b)$.

3. Во второй группе $(ay - by)$ есть общий множитель $y$. Вынесем его за скобки: $y(a - b)$.

4. Теперь наш многочлен выглядит так: $x(a - b) + y(a - b)$.

5. Мы видим, что у получившихся слагаемых есть новый общий множитель — это выражение в скобках $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x + y)$

Таким образом, мы разложили многочлен на два множителя: $(a - b)$ и $(x + y)$.

Ответ: $ax - bx + ay - by = (a - b)(x + y)$.

Возможность 2: Группировка слагаемых с одинаковыми буквенными коэффициентами

1. Переставим слагаемые в исходном многочлене, чтобы сгруппировать члены с общим множителем $a$ и члены с общим множителем $b$.

$ax - bx + ay - by = ax + ay - bx - by$

2. Объединим слагаемые в группы: $(ax + ay) + (-bx - by)$.

3. В первой группе $(ax + ay)$ вынесем за скобки общий множитель $a$: $a(x + y)$.

4. Во второй группе $(-bx - by)$ вынесем за скобки общий множитель $-b$. Важно вынести именно $-b$, чтобы выражение в скобках совпало с выражением в первой группе: $-b(x + y)$.

5. Теперь наш многочлен выглядит так: $a(x + y) - b(x + y)$.

6. У получившихся слагаемых есть общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(a - b)$

Как видно, результат тот же самый, что и в первом случае, так как от перестановки множителей произведение не меняется.

Ответ: $ax - bx + ay - by = (x + y)(a - b)$.