Номер 937, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 937, страница 249.

937 a) $x^3 - 4x^2 + 4x = 0;$

б) $2x^3 + 24x^2 + 72x = 0;$

в) $1 - 3x + x^2 - 3x^3 = 0;$

г) $x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0.$

а) $x^3 - 4x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4x + 4) = 0$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$x(x-2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $(x-2)^2 = 0 \implies x-2=0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

б) $2x^3 + 24x^2 + 72x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x^2 + 12x + 36) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$

Уравнение можно переписать в виде:

$2x(x+6)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $(x+6)^2 = 0 \implies x+6=0 \implies x_2 = -6$

Ответ: $-6; 0$.

в) $1 - 3x + x^2 - 3x^3 = 0$

Для решения применим метод группировки слагаемых:

$(1 - 3x) + (x^2 - 3x^3) = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ из второй скобки:

$(1 - 3x) + x^2(1 - 3x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(1-3x)$ за скобки:

$(1 - 3x)(1 + x^2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $1 - 3x = 0 \implies 3x=1 \implies x = \frac{1}{3}$

2) $1 + x^2 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у уравнения только один действительный корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 - 4x^2) + (-4x + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 4) - 4(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2-4)$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 4)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три возможных случая:

1) $x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

3) $x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: $-2; 2; 4$.